Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00041799

Пункт а. Здесь синус суммы $x+\dfrac{\pi}{6}$ и синус разности $\pi-x$. Раскроем оба через $\sin x$ и $\cos x$ — получится простое однородное уравнение.

По формуле синуса суммы:

$$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos x\cdot\dfrac12.$$

По формуле приведения $\sin(\pi-x)=\sin x$: угол $\pi-x$ при маленьком положительном $x$ во второй четверти, синус там положителен, функция не меняется.

Подставляем и умножаем скобку на $2$:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x-2\sqrt{3}\sin x=0,\qquad \cos x-\sqrt{3}\sin x=0.$$

Если бы $\cos x=0$, то из уравнения $\sin x=0$ — но синус и косинус одновременно нулю не равны. Значит $\cos x\neq 0$, делим на $\sqrt{3}\cos x$:

$$\mathrm{tg}\,x=\dfrac{1}{\sqrt{3}},\qquad x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[7\pi;\dfrac{17\pi}{2}\right]$ — от $7\pi$ до $8{,}5\pi$. Решим двойное неравенство $7\le\dfrac16+n\le 8{,}5$, то есть $6\dfrac56\le n\le 8\dfrac13$. Целые $n$: $7$ и $8$.

$n=7$: $x=\dfrac{\pi}{6}+7\pi=\dfrac{43\pi}{6}$; $n=8$: $x=\dfrac{\pi}{6}+8\pi=\dfrac{49\pi}{6}$.

Проверим себя на $x=\dfrac{43\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}+7\pi$: нечётное число полуоборотов меняет знаки, $\sin x=-\dfrac12$, $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $\cos x-\sqrt{3}\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$ — верно.