Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00041797

Пункт а. В уравнении два синуса от разных углов: $x+\dfrac{\pi}{3}$ и $\pi+x$. Если оба выразить через $\sin x$ и $\cos x$, уравнение станет линейным относительно них.

Первое слагаемое раскрываем по формуле синуса суммы:

$$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin x\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos x\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x.$$

Второе — по формуле приведения: прибавление $\pi$ переводит точку окружности в диаметрально противоположную, поэтому $\sin(\pi+x)=-\sin x$.

Подставляем:

$$2\left(\dfrac12\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)-2\sin x=0,\qquad \sin x+\sqrt{3}\cos x-2\sin x=0,$$

$$\sqrt{3}\cos x-\sin x=0.$$

Это однородное уравнение первой степени. Прежде чем делить на $\cos x$, проверим, не теряем ли корни: если $\cos x=0$, то из уравнения $\sin x=0$, а синус и косинус одновременно в ноль не обращаются ($\sin^2x+\cos^2x=1$). Значит $\cos x\neq 0$, и делить можно:

$$\mathrm{tg}\,x=\sqrt{3},\qquad x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[5\pi;\dfrac{13\pi}{2}\right]$ — это от $5\pi$ до $6{,}5\pi$. Перебираем $n$:

$n=4$: $\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{13\pi}{3}\approx 4{,}33\pi$ — левее $5\pi$, не подходит.

$n=5$: $\dfrac{\pi}{3}+5\pi=\dfrac{16\pi}{3}\approx 5{,}33\pi$ — внутри.

$n=6$: $\dfrac{\pi}{3}+6\pi=\dfrac{19\pi}{3}\approx 6{,}33\pi$ — внутри.

$n=7$: $\dfrac{22\pi}{3}\approx 7{,}33\pi$ — правее $6{,}5\pi$.

Проверим себя на $x=\dfrac{16\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+5\pi$. Пять половин оборота — это то же, что сдвиг на $\pi$, поэтому $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos x=-\dfrac12$. Тогда $\sqrt{3}\cos x-\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$ — верно.