Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00041791

Пункт а. Слева $\dfrac{1}{\cos x}$, справа косинус угла $\dfrac{3\pi}{2}+x$. Как обычно в таких уравнениях, сначала приводим правую часть к функции от $x$, потом избавляемся от дроби.

Ограничение: $\cos x\neq 0$.

Формула приведения: при угле $\dfrac{3\pi}{2}$ косинус меняется на синус. При маленьком положительном $x$ угол $\dfrac{3\pi}{2}+x$ лежит в четвёртой четверти, где косинус положителен, поэтому знак плюс:

$$\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x.$$

Получаем $\dfrac{1}{\cos x}=4\sin x$. Умножаем на $\cos x\neq 0$:

$$1=4\sin x\cos x=2\sin 2x,\qquad \sin 2x=\dfrac12.$$

Значение $\dfrac12$ синус принимает в точках $\dfrac{\pi}{6}$ и $\dfrac{5\pi}{6}$: $2x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ или $2x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$. Делим на $2$:

$$x=\dfrac{\pi}{12}+\pi n\quad\text{или}\quad x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Запрещённые точки $\dfrac{\pi}{2}+\pi k$ в эти серии не входят (сдвиги $\dfrac{\pi}{12}$ и $\dfrac{5\pi}{12}$ отличаются от $\dfrac{\pi}{2}$), так что все найденные корни годятся.

Пункт б. Отбор корней по окружности. Отрезок $\left[-\dfrac{11\pi}{4};-\dfrac{7\pi}{4}\right]$ имеет длину ровно $\pi$, то есть это половина оборота. Его левый конец $-\dfrac{11\pi}{4}=-3\pi+\dfrac{\pi}{4}$, правый $-\dfrac{7\pi}{4}=-2\pi+\dfrac{\pi}{4}$. В долях $\pi$ — от $-2{,}75\pi$ до $-1{,}75\pi$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{12}+\pi n$. При $n=-2$: $\dfrac{\pi}{12}-2\pi=-\dfrac{23\pi}{12}\approx-1{,}92\pi$ — внутри. При $n=-3$: $-\dfrac{35\pi}{12}\approx-2{,}92\pi$ — левее $-2{,}75\pi$; при $n=-1$: примерно $-0{,}92\pi$ — правее.

Серия $x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi n$. При $n=-3$: $\dfrac{5\pi}{12}-3\pi=-\dfrac{31\pi}{12}\approx-2{,}58\pi$ — внутри. При $n=-2$: $-\dfrac{19\pi}{12}\approx-1{,}58\pi$ — правее $-1{,}75\pi$; при $n=-4$ — примерно $-3{,}58\pi$, левее.

Проверим себя на $x=-\dfrac{23\pi}{12}$: это угол $\dfrac{\pi}{12}$ минус полный оборот, поэтому $4\sin x\cos x=2\sin\dfrac{\pi}{6}=1$, а $\cos x=\cos\dfrac{\pi}{12}\neq 0$. Значит $\dfrac{1}{\cos x}=4\sin x$ — корень верный.