Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00041788

Пункт а. Здесь в знаменателе косинус, а справа — косинус угла $\dfrac{3\pi}{2}-x$. Формула приведения превратит правую часть в синус, и после умножения на знаменатель появится произведение $\sin x\cos x$ — его сворачиваем в синус двойного угла.

Ограничение: $\cos x\neq 0$.

Формула приведения. При угле $\dfrac{3\pi}{2}$ косинус меняется на синус. Знак: при маленьком положительном $x$ угол $\dfrac{3\pi}{2}-x$ лежит в третьей четверти, а там косинус отрицателен. Поэтому

$$\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)=-\sin x.$$

Уравнение: $\dfrac{\sqrt{3}}{\cos x}=-4\sin x$. Умножаем на $\cos x\neq 0$:

$$\sqrt{3}=-4\sin x\cos x=-2\sin 2x,\qquad \sin 2x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

Синус равен $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ в точках $-\dfrac{\pi}{3}$ и $-\dfrac{2\pi}{3}$ окружности: $2x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ или $2x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Отсюда $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ или $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Косинус обращается в ноль в точках $\dfrac{\pi}{2}+\pi k$. Наши серии сдвинуты от точек $\pi k$ на $-\dfrac{\pi}{6}$ и $-\dfrac{\pi}{3}$, а не на $\dfrac{\pi}{2}$, так что с запрещёнными точками они не совпадают.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[-\dfrac{17\pi}{4};-\dfrac{13\pi}{4}\right]$ — от $-4{,}25\pi$ до $-3{,}25\pi$. Запишем двойное неравенство для каждой серии и разделим его на $\pi$.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$: $-4{,}25\le-\dfrac16+n\le-3{,}25$, то есть $-4{,}08\le n\le-3{,}08$. Подходит только $n=-4$: $x=-\dfrac{\pi}{6}-4\pi=-\dfrac{25\pi}{6}$.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$: $-4{,}25\le-\dfrac13+n\le-3{,}25$, то есть $-3{,}92\le n\le-2{,}92$. Подходит только $n=-3$: $x=-\dfrac{\pi}{3}-3\pi=-\dfrac{10\pi}{3}$.

Проверим себя на $x=-\dfrac{25\pi}{6}$: это $-\dfrac{\pi}{6}$ минус два оборота, поэтому $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin x=-\dfrac12$. Слева $\sqrt{3}:\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2$, справа $-4\sin x=2$ — верно.