Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00041785

Пункт а. Уравнение похоже на пропорцию: слева $\dfrac{1}{\sin x}$, справа синус суммы $\dfrac{\pi}{2}+x$. Если упростить правую часть формулой приведения и избавиться от знаменателя, останется простейшее уравнение на синус двойного угла.

Ограничение: знаменатель не равен нулю, $\sin x\neq 0$.

Формула приведения. Угол $\dfrac{\pi}{2}$ меняет синус на косинус. Если $x$ — маленький положительный угол, то $\dfrac{\pi}{2}+x$ лежит во второй четверти, где синус положителен, поэтому знак сохраняется:

$$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x.$$

Получаем $\dfrac{1}{\sin x}=4\cos x$. Умножаем обе части на $\sin x\neq 0$:

$$1=4\sin x\cos x.$$

Так как $2\sin x\cos x=\sin 2x$, то $4\sin x\cos x=2\sin 2x$, и уравнение становится таким:

$$\sin 2x=\dfrac{1}{2}.$$

Синус равен $\dfrac12$ в двух точках окружности: $\dfrac{\pi}{6}$ и $\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$. Значит $2x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ или $2x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Делим на $2$ всю правую часть, вместе с периодом: $x=\dfrac{\pi}{12}+\pi n$ или $x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Ни одна из этих точек не имеет вида $\pi k$ (сдвиги $\dfrac{\pi}{12}$ и $\dfrac{5\pi}{12}$ не кратны $\pi$), поэтому условие $\sin x\neq 0$ выполнено автоматически.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[-\dfrac{15\pi}{4};-\dfrac{11\pi}{4}\right]$ — это от $-3{,}75\pi$ до $-2{,}75\pi$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{12}+\pi n$. При $n=-3$: $\dfrac{\pi}{12}-3\pi=-\dfrac{35\pi}{12}\approx-2{,}92\pi$ — внутри отрезка. При $n=-2$ получится примерно $-1{,}92\pi$ (правее), при $n=-4$ — примерно $-3{,}92\pi$ (левее).

Серия $x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi n$. При $n=-4$: $\dfrac{5\pi}{12}-4\pi=-\dfrac{43\pi}{12}\approx-3{,}58\pi$ — внутри. При $n=-3$: $-\dfrac{31\pi}{12}\approx-2{,}58\pi$ — правее $-2{,}75\pi$; при $n=-5$ — примерно $-4{,}58\pi$, левее.

Проверим себя на $x=-\dfrac{35\pi}{12}=\dfrac{\pi}{12}-3\pi$. Сдвиг на $-3\pi$ меняет знак и у синуса, и у косинуса, поэтому произведение $\sin x\cos x$ остаётся таким же, как у угла $\dfrac{\pi}{12}$: $\sin x\cos x=\dfrac12\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac14$. Тогда $4\sin x\cos x=1$ — ровно наше уравнение после умножения на $\sin x$.