Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00041782

Пункт а. Слева стоит дробь со знаменателем $\sin x$, справа — синус «неудобного» угла $\dfrac{3\pi}{2}-x$. План такой: формулой приведения превратить правую часть в функцию от $x$, избавиться от дроби и свернуть произведение синуса на косинус в синус двойного угла.

Сначала ограничение: на ноль делить нельзя, поэтому $\sin x\neq 0$.

Формула приведения. Угол $\dfrac{3\pi}{2}$ меняет синус на косинус. Знак определяем, считая $x$ маленьким положительным углом: тогда $\dfrac{3\pi}{2}-x$ лежит в третьей четверти, где синус отрицателен. Значит

$$\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x.$$

Уравнение принимает вид $\dfrac{\sqrt{3}}{\sin x}=-4\cos x$. Умножим обе части на $\sin x$ (он не равен нулю):

$$\sqrt{3}=-4\sin x\cos x.$$

По формуле синуса двойного угла $2\sin x\cos x=\sin 2x$, поэтому $4\sin x\cos x=2\sin 2x$ и

$$\sin 2x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

На единичной окружности синус равен $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ в двух точках: $-\dfrac{\pi}{3}$ и $-\dfrac{2\pi}{3}$. Поэтому $2x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ или $2x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Делим на $2$ — и угол, и период: $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ или $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Сверяемся с ограничением. Синус равен нулю только в точках $\pi k$, а наши серии сдвинуты от них на $\dfrac{\pi}{6}$ и $\dfrac{\pi}{3}$, так что ни одна точка серии с $\pi k$ не совпадает. Посторонних корней нет.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[-\dfrac{21\pi}{4};-\dfrac{17\pi}{4}\right]$ в долях $\pi$ — от $-5{,}25\pi$ до $-4{,}25\pi$. Перебираем целые $n$ в каждой серии.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$. При $n=-5$: $-\dfrac{\pi}{6}-5\pi=-\dfrac{31\pi}{6}\approx-5{,}17\pi$ — внутри отрезка, берём. При $n=-4$: $-\dfrac{25\pi}{6}\approx-4{,}17\pi$ — правее $-4{,}25\pi$, не подходит; при $n=-6$ получится примерно $-6{,}17\pi$ — левее отрезка.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$. При $n=-4$: $-\dfrac{\pi}{3}-4\pi=-\dfrac{13\pi}{3}\approx-4{,}33\pi$ — внутри, берём. При $n=-5$: $-\dfrac{16\pi}{3}\approx-5{,}33\pi$ — левее $-5{,}25\pi$; при $n=-3$: примерно $-3{,}33\pi$ — правее.

Проверим себя на $x=-\dfrac{13\pi}{3}$. Этот угол отличается от $-\dfrac{\pi}{3}$ на $-4\pi$, то есть на два полных оборота, поэтому $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos x=\dfrac{1}{2}$. Слева $\sqrt{3}:\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2$, справа $-4\cos x=-2$ — совпало.