Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00041781

Кредит $40$ млн рублей, срок четыре года, ставка $r\%$ неизвестна. Сумма платежей дана в тысячах — переведём её в миллионы: $61\,875$ тыс. $=61{,}875$ млн рублей.

Долги на июль (в млн): в 2029–2031 годах каждый раз на $25\%$ меньше, то есть $0{,}75$ от прежнего; к июлю 2032 года — ноль:

$$40;\quad 30;\quad 22{,}5;\quad 16{,}875;\quad 0.$$

Каждый платёж складывается из процентов (их банк начисляет в январе на июльский долг) и погашения части долга. Все погашения вместе дают ровно $40$ млн — долг ушёл от $40$ до нуля. Значит, переплата состоит только из процентов:

$$61{,}875-40=21{,}875\ \text{млн}.$$

Проценты за четыре года — это $r\%$ от суммы июльских долгов:

$$\dfrac{r}{100}\cdot(40+30+22{,}5+16{,}875)=\dfrac{r}{100}\cdot109{,}375=21{,}875.$$

$$\dfrac{r}{100}=\dfrac{21{,}875}{109{,}375}=0{,}2,\qquad r=20.$$

Проверим прямым подсчётом при $r=20$: платежи $1{,}2\cdot40-30=18$; $1{,}2\cdot30-22{,}5=13{,}5$; $1{,}2\cdot22{,}5-16{,}875=10{,}125$; $1{,}2\cdot16{,}875=20{,}25$. Сумма $18+13{,}5+10{,}125+20{,}25=61{,}875$ млн — совпало.