Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00041767

Обозначим кредит $S$ рублей, а каждый из трёх равных платежей — $x$ рублей. Найдём сначала, какую долю кредита составляет один платёж, а потом выразим через $S$ переплату.

Долг каждый январь умножается на $1{,}2$. Если бы никто не платил, к концу третьего года кредит вырос бы в $1{,}2^{3}=1{,}728$ раза. Платежи тоже «работают» с ростом: первый внесён за два начисления до конца срока (множитель $1{,}2^{2}=1{,}44$), второй — за одно ($1{,}2$), третий — в самом конце. Условие полного погашения:

$$1{,}728S=1{,}44x+1{,}2x+x=3{,}64x.$$

Отсюда платёж как доля кредита (числитель и знаменатель умножим на $1000$ и разделим на $8$):

$$x=\dfrac{1{,}728}{3{,}64}S=\dfrac{1728}{3640}S=\dfrac{216}{455}S.$$

Переплата — всё, что заплачено сверх кредита:

$$3x-S=\dfrac{648}{455}S-S=\dfrac{193}{455}S=54\,040.$$

Так как $54\,040=193\cdot280$, получаем

$$S=280\cdot455=127\,400.$$

Проверим: платёж $x=\dfrac{216}{455}\cdot127\,400=216\cdot280=60\,480$ рублей. Прогон по годам: $127\,400\cdot1{,}2=152\,880$, минус платёж — $92\,400$; $92\,400\cdot1{,}2=110\,880$, минус платёж — $50\,400$; $50\,400\cdot1{,}2=60\,480$ — ровно последний платёж. Переплата $3\cdot60\,480-127\,400=181\,440-127\,400=54\,040$ рублей — совпало.