Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00041764

Обозначим сумму кредита $S$ рублей, а каждый из трёх равных платежей — $x$ рублей. Всего банку заплатят $3x$, и по условию это на $61\,760$ рублей больше кредита:

$$3x-S=61\,760.$$

Второе уравнение даёт условие полного погашения. Каждый год — два действия: в январе долг умножается на $1{,}2$ (прибавка $20\%$), весной уменьшается на $x$. После третьего платежа долг равен нулю:

$$\big((1{,}2S-x)\cdot1{,}2-x\big)\cdot1{,}2-x=0.$$

Раскроем скобки: кредит получает множитель $1{,}2^{3}$, а платежи — множители $1{,}2^{2}$, $1{,}2$ и $1$:

$$1{,}2^{3}S=x\left(1{,}2^{2}+1{,}2+1\right),\qquad 1{,}728S=3{,}64x.$$

Из первого уравнения $S=3x-61\,760$. Подставляем во второе:

$$1{,}728\,(3x-61\,760)=3{,}64x\ \Rightarrow\ 5{,}184x-3{,}64x=1{,}728\cdot61\,760.$$

$$1{,}544x=106\,721{,}28\ \Rightarrow\ x=\dfrac{106\,721{,}28}{1{,}544}=69\,120.$$

Тогда $S=3\cdot69\,120-61\,760=207\,360-61\,760=145\,600$ рублей.

Проверим прогоном по годам: $145\,600\cdot1{,}2=174\,720$, минус платёж — $105\,600$; $105\,600\cdot1{,}2=126\,720$, минус платёж — $57\,600$; $57\,600\cdot1{,}2=69\,120$ — ровно последний платёж, долг погашен. Переплата $207\,360-145\,600=61\,760$ рублей — совпало.