Задание 11 ЕГЭ по математике: На рисунке изображены графики функций f левая круглая скобка x…

На рисунке две линии: парабола f(x)=ax^{2}+bx+c и прямая g(x)=kx. Точки A и B — их общие точки. Чтобы найти их не на глаз, восстановим по картинке формулы обеих функций, а потом решим уравнение f(x)=g(x).

Сначала парабола. Хорошо видно, где она пересекает ось Ox: в начале координат и в точке x=1. Многочлен с корнями 0 и 1 удобно записать так:

f(x)=a\cdot x\cdot(x-1).

Осталось найти a. Для этого возьмём отмеченную на рисунке точку параболы (2;2) и подставим её координаты:

2=a\cdot2\cdot(2-1)=2a.

Отсюда a=1, то есть

f(x)=x\cdot(x-1)=x^{2}-x.

Теперь прямая. Она проходит через начало координат, поэтому её вид действительно g(x)=kx. Чтобы найти k, воспользуемся отмеченной точкой (1;4):

4=k\cdot1,\qquad k=4,\qquad g(x)=4x.

Общие точки графиков — это те значения x, при которых функции равны. Приравниваем:

x^{2}-x=4x.

Переносим всё влево и выносим x за скобку:

x^{2}-5x=0,\qquad x(x-5)=0.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, значит

x=0\quad\text{или}\quad x=5.

Первый корень отвечает точке A — она стоит как раз в начале координат и подписана на рисунке. Значит точке B соответствует второй корень, и её абсцисса равна 5.

Проверим себя подстановкой: парабола в этой точке даёт 5^{2}-5=25-5=20, прямая даёт 4\cdot5=20. Значения совпали, точка (5;20) действительно общая — она просто не поместилась в видимую часть рисунка.