Парабола — Задание 12 ЕГЭ по математике №00028846

На рисунке две линии: парабола $f(x)=ax^{2}+bx+c$ и прямая $g(x)=kx$. Точки $A$ и $B$ — их общие точки. Чтобы найти их не на глаз, восстановим по картинке формулы обеих функций, а потом решим уравнение $f(x)=g(x)$.

Сначала парабола. Хорошо видно, где она пересекает ось $Ox$: в начале координат и в точке $x=1$. Многочлен с корнями $0$ и $1$ удобно записать так:

$$f(x)=a\cdot x\cdot(x-1).$$

Осталось найти $a$. Для этого возьмём отмеченную на рисунке точку параболы $(2;2)$ и подставим её координаты:

$$2=a\cdot2\cdot(2-1)=2a.$$

Отсюда $a=1$, то есть

$$f(x)=x\cdot(x-1)=x^{2}-x.$$

Теперь прямая. Она проходит через начало координат, поэтому её вид действительно $g(x)=kx$. Чтобы найти $k$, воспользуемся отмеченной точкой $(1;4)$:

$$4=k\cdot1,\qquad k=4,\qquad g(x)=4x.$$

Общие точки графиков — это те значения $x$, при которых функции равны. Приравниваем:

$$x^{2}-x=4x.$$

Переносим всё влево и выносим $x$ за скобку:

$$x^{2}-5x=0,\qquad x(x-5)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, значит

$$x=0\quad\text{или}\quad x=5.$$

Первый корень отвечает точке $A$ — она стоит как раз в начале координат и подписана на рисунке. Значит точке $B$ соответствует второй корень, и её абсцисса равна $5$.

Проверим себя подстановкой: парабола в этой точке даёт $5^{2}-5=25-5=20$, прямая даёт $4\cdot5=20$. Значения совпали, точка $(5;20)$ действительно общая — она просто не поместилась в видимую часть рисунка.