Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00041761

Кредит гасится тремя одинаковыми платежами, а известна только переплата — на сколько сумма платежей больше кредита. Обозначим кредит $S$ рублей, а каждый платёж — $x$ рублей. Тогда переплата равна $3x-S$, и нам нужно ещё одно соотношение между $S$ и $x$ — его даёт условие полного погашения.

Каждый январь долг умножается на $1{,}1$. Посмотрим на платежи из момента выдачи кредита. Платёж $x$, внесённый через год, гасит ту часть долга, которая в момент выдачи составляла $\dfrac{x}{1{,}1}$: за год она как раз выросла бы до $x$. Платёж через два года гасит $\dfrac{x}{1{,}1^{2}}$, через три — $\dfrac{x}{1{,}1^{3}}$. Вместе эти части и составляют весь кредит:

$$S=\dfrac{x}{1{,}1}+\dfrac{x}{1{,}1^{2}}+\dfrac{x}{1{,}1^{3}}=x\left(\dfrac{10}{11}+\dfrac{100}{121}+\dfrac{1000}{1331}\right).$$

Приведём дроби к знаменателю $1331$:

$$S=x\cdot\dfrac{1210+1100+1000}{1331}=\dfrac{3310x}{1331}.$$

Теперь переплата:

$$3x-S=\dfrac{3993x-3310x}{1331}=\dfrac{683x}{1331}=27\,320.$$

Так как $27\,320=683\cdot40$, получаем $x=40\cdot1331=53\,240$ рублей.

Тогда кредит $S=3x-27\,320=159\,720-27\,320=132\,400$ рублей.

Проверим прогоном по годам. Первый год: $132\,400\cdot1{,}1=145\,640$, после платежа $145\,640-53\,240=92\,400$. Второй: $92\,400\cdot1{,}1=101\,640$, после платежа $48\,400$. Третий: $48\,400\cdot1{,}1=53\,240$ — ровно один платёж, долг погашен. Переплата $3\cdot53\,240-132\,400=27\,320$ рублей — совпало.