Применение… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00041754

Функция определена при $x\ge 0$. Найдём производную по слагаемым: производная числа $3$ равна нулю, производная $18x$ равна $18$, а производная $-x^{\frac32}$ равна $-\dfrac32\sqrt{x}$:

$$y'=18-\dfrac32\sqrt{x}.$$

Приравняем к нулю и умножим обе части на $2$, чтобы избавиться от дроби:

$$36-3\sqrt{x}=0\;\Rightarrow\;\sqrt{x}=12\;\Rightarrow\;x=144.$$

Проверим знак производной. При $x=121$ ($\sqrt{x}=11$): $y'=18-16{,}5=1{,}5\gt 0$ — функция возрастает. При $x=169$ ($\sqrt{x}=13$): $y'=18-19{,}5=-1{,}5\lt 0$ — функция убывает.

Знак меняется с плюса на минус, значит, $x=144$ — точка максимума.