Применение… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00041749

Из-за степени $x^{\frac32}$ функция определена при $x\ge 0$. Найдём производную по слагаемым.

Производная числа $15$ равна нулю, производная $24x$ равна $24$, а производная $x^{\frac32}$ равна $\dfrac32x^{\frac12}=\dfrac32\sqrt{x}$:

$$y'=24-\dfrac32\sqrt{x}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$24-\dfrac32\sqrt{x}=0\;\Rightarrow\;\sqrt{x}=24\cdot\dfrac23=16\;\Rightarrow\;x=256.$$

Проверим знак производной по обе стороны. При $x=225$ ($\sqrt{x}=15$): $y'=24-22{,}5=1{,}5\gt 0$ — функция возрастает. При $x=289$ ($\sqrt{x}=17$): $y'=24-25{,}5=-1{,}5\lt 0$ — функция убывает.

Производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x=256$ — точка максимума.