Задание 8 ЕГЭ по математике: На рисунке изображён график y равно f' левая круглая скобка x…

Первым делом разберёмся, что вообще нарисовано на картинке. Это не сама функция f, а её производная — у кривой стоит подпись y=f'(x). То есть высота точки кривой показывает не значение функции, а её скорость роста в этом месте. На этой подмене чаще всего и теряют балл.

Правило, которым мы будем пользоваться, звучит словами так: где график производной лежит выше оси Ox, то есть f'(x)\gt0, там функция f возрастает; где кривая лежит ниже оси, то есть f'(x)\lt0, там функция f убывает.

Нас спрашивают только про отрезок [-2;3]. Поэтому мысленно отчеркнём на рисунке две вертикальные линии — при x=-2 и при x=3 — и дальше смотрим лишь на кусок кривой между ними.

Смотрим внимательно на этот кусок. Кривая там ведёт себя беспокойно: около x=-1 у неё небольшой горбик, около x=1 и около x=3 — ещё два таких горбика, а между ними глубокая яма, опускающаяся почти до -4. Но ключевое вот что: даже вершины этих горбиков лежат НИЖЕ оси Ox. Самая высокая из них поднимается примерно до уровня -1{,}2, а это всё ещё отрицательное число.

Значит, на всём отрезке [-2;3] производная сохраняет один и тот же знак — минус. Ось Ox кривая здесь ни разу не пересекает, в ноль производная не обращается.

Вот тут и спрятана ловушка задачи. Привычный ход — «ищем точку, где производная меняет знак с минуса на плюс, там и минимум функции». Но такой точки внутри отрезка просто нет: горбики кривой не дотягиваются до оси, знак не меняется, а значит ни точек минимума, ни точек максимума внутри отрезка у функции f не существует.

Раз f'(x)\lt0 во всех точках отрезка, функция f на нём всё время убывает: чем правее мы берём точку, тем меньше значение функции. Такая функция называется убывающей на отрезке.

А у убывающей функции наименьшее значение достигается там, где мы забрались как можно правее, то есть на правом конце отрезка. Правый конец отрезка [-2;3] — это точка x=3.

Проверим себя. Возьмём, например, точки x=0 и x=3. Между ними производная отрицательна, значит функция от нуля до тройки только падала, и поэтому f(3)\lt f(0). То же самое сравнение сработает с любой другой точкой отрезка: она лежит левее тройки, а левее — значит больше. Ни одна внутренняя точка не может дать значения меньше, чем правый конец.