ID: 00028851
На рисунке изображён график $y=f'\left(x\right)$ — производной функции $f\left(x\right)$, определённой на интервале $\left(-9;4\right)$. В какой точке отрезка $\left[-2;3\right]$ функция $f\left(x\right)$ принимает наименьшее значение?
Источник: ФИПИ
Первым делом разберёмся, что вообще нарисовано на картинке. Это не сама функция $f$, а её производная — у кривой стоит подпись $y=f'(x)$. То есть высота точки кривой показывает не значение функции, а её скорость роста в этом месте. На этой подмене чаще всего и теряют балл.
Правило, которым мы будем пользоваться, звучит словами так: где график производной лежит выше оси $Ox$, то есть $f'(x)\gt0$, там функция $f$ возрастает; где кривая лежит ниже оси, то есть $f'(x)\lt0$, там функция $f$ убывает.
Нас спрашивают только про отрезок $[-2;3]$. Поэтому мысленно отчеркнём на рисунке две вертикальные линии — при $x=-2$ и при $x=3$ — и дальше смотрим лишь на кусок кривой между ними.
Смотрим внимательно на этот кусок. Кривая там ведёт себя беспокойно: около $x=-1$ у неё небольшой горбик, около $x=1$ и около $x=3$ — ещё два таких горбика, а между ними глубокая яма, опускающаяся почти до $-4$. Но ключевое вот что: даже вершины этих горбиков лежат НИЖЕ оси $Ox$. Самая высокая из них поднимается примерно до уровня $-1{,}2$, а это всё ещё отрицательное число.
Значит, на всём отрезке $[-2;3]$ производная сохраняет один и тот же знак — минус. Ось $Ox$ кривая здесь ни разу не пересекает, в ноль производная не обращается.
Вот тут и спрятана ловушка задачи. Привычный ход — «ищем точку, где производная меняет знак с минуса на плюс, там и минимум функции». Но такой точки внутри отрезка просто нет: горбики кривой не дотягиваются до оси, знак не меняется, а значит ни точек минимума, ни точек максимума внутри отрезка у функции $f$ не существует.
Раз $f'(x)\lt0$ во всех точках отрезка, функция $f$ на нём всё время убывает: чем правее мы берём точку, тем меньше значение функции. Такая функция называется убывающей на отрезке.
А у убывающей функции наименьшее значение достигается там, где мы забрались как можно правее, то есть на правом конце отрезка. Правый конец отрезка $[-2;3]$ — это точка $x=3$.
Проверим себя. Возьмём, например, точки $x=0$ и $x=3$. Между ними производная отрицательна, значит функция от нуля до тройки только падала, и поэтому $f(3)\lt f(0)$. То же самое сравнение сработает с любой другой точкой отрезка: она лежит левее тройки, а левее — значит больше. Ни одна внутренняя точка не может дать значения меньше, чем правый конец.