Применение… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00041751

Функция определена при $x\ge 0$ (из-за степени $x^{\frac32}$). Найдём её производную.

$\left(x^{\frac32}\right)'=\dfrac32\sqrt{x}$, поэтому $\left(2x^{\frac32}\right)'=2\cdot\dfrac32\sqrt{x}=3\sqrt{x}$. Производная $-18x$ равна $-18$, производная числа $21$ равна нулю:

$$y'=3\sqrt{x}-18.$$

Приравняем к нулю:

$$3\sqrt{x}-18=0\;\Rightarrow\;\sqrt{x}=6\;\Rightarrow\;x=36.$$

Проверим знак производной. При $x=25$: $y'=3\cdot5-18=-3\lt 0$ — функция убывает. При $x=49$: $y'=3\cdot7-18=3\gt 0$ — функция возрастает.

Знак меняется с минуса на плюс, значит, $x=36$ — точка минимума.