Применение… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00041748

Функция содержит степень $x^{\frac32}$, поэтому она определена при $x\ge 0$. Точку минимума ищем с помощью производной.

Производная степени: $\left(x^{n}\right)'=n\,x^{n-1}$. При $n=\dfrac32$ получаем $\dfrac32x^{\frac12}=\dfrac32\sqrt{x}$. Коэффициент $2$ остаётся множителем, производная $-21x$ равна $-21$, производная числа $16$ равна нулю:

$$y'=2\cdot\dfrac32\sqrt{x}-21=3\sqrt{x}-21.$$

Приравняем производную к нулю:

$$3\sqrt{x}-21=0\;\Rightarrow\;\sqrt{x}=7\;\Rightarrow\;x=49.$$

Проверим знак производной по обе стороны от этой точки. При $x=16$: $y'=3\cdot4-21=-9\lt 0$ — функция убывает. При $x=64$: $y'=3\cdot8-21=3\gt 0$ — функция возрастает.

Производная меняет знак с минуса на плюс, значит, $x=49$ — точка минимума.