Задание 11 ЕГЭ по математике №00041721

Пусть скорость велосипедиста $v$ км/ч, тогда скорость автомобилиста $v+25$ км/ч. Оба проезжают $50$ км.

Время велосипедиста $\dfrac{50}{v}$ ч, время автомобилиста $\dfrac{50}{v+25}$ ч. Велосипедист прибыл на $2$ ч $5$ мин позже.

Переведём в часы: $5$ мин $=\dfrac{5}{60}=\dfrac{1}{12}$ ч, значит, $2$ ч $5$ мин $=\dfrac{25}{12}$ ч.

$$\dfrac{50}{v}-\dfrac{50}{v+25}=\dfrac{25}{12}.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю. В числителе $50(v+25)-50v=1250$:

$$\dfrac{1250}{v(v+25)}=\dfrac{25}{12}\;\Rightarrow\;v(v+25)=\dfrac{1250\cdot12}{25}=600.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$v^{2}+25v-600=0,\qquad D=25^{2}+4\cdot600=3025=55^{2}.$$

Корни: $v=\dfrac{-25+55}{2}=15$ и $v=\dfrac{-25-55}{2}=-40$. Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v=15$ км/ч.

Проверка: велосипедист в пути $\dfrac{50}{15}=3\dfrac13$ ч, автомобилист $\dfrac{50}{40}=1\dfrac14$ ч; разность $3\dfrac13-1\dfrac14=2\dfrac{1}{12}$ ч, то есть $2$ ч $5$ мин. Верно.