Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00041713

Центр сферы $O$ лежит в центре основания конуса.

Окружность основания конуса лежит на сфере, поэтому расстояние от $O$ до любой точки этой окружности — радиус сферы. Значит, радиус основания конуса $r=R$.

Вершина конуса тоже лежит на сфере, а высота конуса — это отрезок от вершины до центра основания, то есть до $O$. Поэтому высота $h=R$.

В осевом сечении высота, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник с катетами $R$ и $R$. По теореме Пифагора образующая:

$$l=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt2.$$

По условию $l=18\sqrt2$, значит, $R\sqrt2=18\sqrt2$ и $R=18$.

Проверка: $\sqrt{18^2+18^2}=\sqrt{2\cdot18^2}=18\sqrt2$ — совпадает с образующей из условия.