Задание 2 ЕГЭ по математике №00041711

Сначала найду координаты вектора $6\vec a+3\vec b$. При умножении вектора на число умножается каждая координата:

$6\vec a=(6;\,12)$, $3\vec b=(6;\,-3)$.

Складываю покоординатно: $6\vec a+3\vec b=(6+6;\ 12-3)=(12;\,9)$.

Длина вектора — корень из суммы квадратов координат:

$$|6\vec a+3\vec b|=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15.$$

Проверка другим способом: $\vec a\cdot\vec b=1\cdot2+2\cdot(-1)=0$, векторы перпендикулярны. Тогда квадрат длины суммы равен сумме квадратов длин: $|6\vec a|^2+|3\vec b|^2=36\cdot5+9\cdot5=225$, и длина снова $15$.