Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00041705

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $\angle B=9^\circ$, значит, $\angle A=90^\circ-9^\circ=81^\circ$.

Медиана $CM$ проведена к гипотенузе $AB$. Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника, поэтому $MC=MB$. Треугольник $CMB$ равнобедренный, углы при основании $CB$ равны:

$$\angle MCB=\angle B=9^\circ.$$

Высота $CH$ перпендикулярна $AB$. В прямоугольном треугольнике $CHB$ сумма острых углов равна $90^\circ$:

$$\angle HCB=90^\circ-\angle B=90^\circ-9^\circ=81^\circ.$$

На рисунке точки на гипотенузе идут в порядке $A$, $H$, $M$, $B$, то есть от катета $CB$ луч $CM$ ближе, чем луч $CH$. Искомый угол между высотой и медианой — разность:

$$\angle HCM=\angle HCB-\angle MCB=81^\circ-9^\circ=72^\circ.$$

Проверка от другого катета. $\angle ACH=90^\circ-\angle A=9^\circ$. Треугольник $AMC$ тоже равнобедренный ($MA=MC$), поэтому $\angle ACM=\angle A=81^\circ$. Тогда $\angle HCM=81^\circ-9^\circ=72^\circ$ — то же самое.