Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00041701

Если в четырёхугольник вписана окружность, то каждая его сторона касается окружности. Из каждой вершины к окружности идут два отрезка касательных, и они равны между собой.

Обозначу эти отрезки из вершин $A$, $B$, $C$, $D$ буквами $a$, $b$, $c$, $d$. Тогда $AB=a+b$, $BC=b+c$, $CD=c+d$, $DA=d+a$.

Видно, что $AB+CD=a+b+c+d$ и $BC+AD=a+b+c+d$: суммы противоположных сторон равны.

Периметр состоит из двух таких равных сумм, поэтому каждая сумма — половина периметра:

$$AB+CD=\dfrac{24}{2}=12.$$

Отсюда $CD=12-5=7$.

Проверка: $AB+CD=5+7=12$, вторая пара сторон тоже даёт $12$, а вместе $12+12=24$ — это периметр из условия.