Global EE

Математическо… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00041694

Задание №6. Случайная величина

Математическое ожидание случайной величины

№2. Задание 6

ID: 00041694

Всего выпущено 50 000 лотерейных билетов. Сумма выигрышей и число выигрышных билетов показаны в таблице.

Выигрыш

100 р.

500 р.

1000 р.

50 тыс. р.

100 тыс. р.

Число выигрышных билетов

500

100

10

5

1

Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет», который получит один случайный покупатель лотерейного билета. Ответ дайте в рублях.

Источник: СтатГрад

Решение

Случайная величина $X$ — выигрыш на один билет. Составлю её распределение: значение и вероятность.

Выигрышных билетов $500+100+10+5+1=616$, значит, без выигрыша $50\,000-616=49\,384$ билета — это значение $0$.

Вероятность каждого значения — число билетов с ним, делённое на $50\,000$.

Математическое ожидание — сумма произведений значений на их вероятности (нулевое значение вклада не даёт):

$$M(X)=\dfrac{100\cdot500+500\cdot100+1000\cdot10+50\,000\cdot5+100\,000\cdot1}{50\,000}.$$

Числитель: $50\,000+50\,000+10\,000+250\,000+100\,000=460\,000$.

$$M(X)=\dfrac{460\,000}{50\,000}=9{,}2.$$

Проверка по смыслу: почти все билеты пустые, поэтому средний выигрыш получился меньше самого маленького приза в $100$ р. — так и должно быть. И обратно: $9{,}2\cdot50\,000=460\,000$ — это общая сумма всех выигрышей из таблицы.

Ответ

9,2
Другие задания по теме «Математическое ожидание случайной величины» (8)