Задание 2 ЕГЭ по математике №00041690

Сначала сниму с рисунка координаты векторов. Координаты вектора — это «конец минус начало».

Вектор $\vec a$ начинается в точке $(5;\,8)$ и заканчивается в точке $(1;\,5)$: $\vec a=(1-5;\ 5-8)=(-4;\,-3)$.

Вектор $\vec b$ начинается в точке $(3;\,4)$ и заканчивается в точке $(7;\,1)$: $\vec b=(7-3;\ 1-4)=(4;\,-3)$.

Скалярное произведение: $\vec a\cdot\vec b=(-4)\cdot4+(-3)\cdot(-3)=-16+9=-7$.

Длины: $|\vec a|=\sqrt{16+9}=5$, $|\vec b|=\sqrt{16+9}=5$.

$$\cos\varphi=\dfrac{-7}{5\cdot5}=-\dfrac{7}{25}=-0{,}28.$$

Проверка другим способом. Оба вектора направлены вниз и отклоняются от направления «строго вниз» на одинаковый угол $\alpha$ — один влево, другой вправо; у этого угла $\cos\alpha=\dfrac35$. Угол между векторами равен $2\alpha$, и $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\dfrac{9}{25}-1=-\dfrac{7}{25}$ — совпадает.