Задание 5 ЕГЭ по математике №00041687

Пусть $p$ — вероятность того, что у пациента, направленного на тест, заболевание действительно есть; $1-p$ — что его нет.

Тест положительный в двух случаях.

Пациент болен и тест подтвердил болезнь: $0{,}91p$.

Пациент здоров, а тест ошибочно положительный. У здоровых тест прав в $93$ % случаев, значит, ошибается в $7$ %: вероятность $0{,}07(1-p)$.

Всего положительных тестов $13$ %:

$$0{,}91p+0{,}07(1-p)=0{,}13.$$

$0{,}91p+0{,}07-0{,}07p=0{,}13$, $0{,}84p=0{,}06$, $p=\dfrac{0{,}06}{0{,}84}=\dfrac{1}{14}$.

Тест у пациента уже положительный, поэтому ищем долю больных среди положительных тестов — делим вероятность «болен и тест положительный» на вероятность положительного теста:

$$P=\dfrac{0{,}91\cdot\frac{1}{14}}{0{,}13}=\dfrac{0{,}065}{0{,}13}=0{,}5.$$

Проверка на $1400$ пациентах: больных $100$, из них положительный тест у $91$; здоровых $1300$, ложноположительный у $1300\cdot0{,}07=91$. Всего положительных $182$ — это $13$ % от $1400$, как в условии. Больных среди положительных $\dfrac{91}{182}=0{,}5$.