Задание 5 ЕГЭ по математике №00041681

Обозначу через $p$ вероятность того, что у направленного на тест пациента действительно есть заболевание. Тогда вероятность, что заболевания нет, равна $1-p$.

Положительный тест получается двумя путями.

Пациент болен, и тест это подтвердил: вероятность $0{,}99p$.

Пациент здоров, но тест ошибся. У здоровых тест верно показывает отсутствие болезни в $89$ % случаев, значит, ошибается в $100-89=11$ % случаев. Вероятность этого пути: $0{,}11(1-p)$.

По условию положительных тестов в среднем $15$ %, поэтому:

$$0{,}99p+0{,}11(1-p)=0{,}15.$$

Раскрываю скобки: $0{,}99p+0{,}11-0{,}11p=0{,}15$, откуда $0{,}88p=0{,}04$ и $p=\dfrac{0{,}04}{0{,}88}=\dfrac{1}{22}$.

Теперь главное: известно, что тест уже оказался положительным. Значит, рассматриваем только положительные тесты и ищем, какую их долю дают больные пациенты:

$$P=\dfrac{0{,}99p}{0{,}15}=\dfrac{0{,}99}{22\cdot0{,}15}=\dfrac{0{,}99}{3{,}3}=0{,}3.$$

Проверка на «живых» числах. Возьмём $2200$ пациентов. Больных среди них $2200\cdot\dfrac{1}{22}=100$, тест положительный у $99$. Здоровых $2100$, ложноположительный тест у $2100\cdot0{,}11=231$. Всего положительных $99+231=330$, и это ровно $15$ % от $2200$, как в условии. Из $330$ положительных больны $99$: $\dfrac{99}{330}=0{,}3$.