Задание 2 ЕГЭ по математике №00041678

Косинус угла между векторами находим через скалярное произведение и длины:

$$\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}.$$

Скалярное произведение в координатах — сумма произведений соответствующих координат:

$$\vec a\cdot\vec b=2\cdot(-6)+6\cdot(-2)=-12-12=-24.$$

Длины векторов по теореме Пифагора: $|\vec a|=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}$, $|\vec b|=\sqrt{(-6)^2+(-2)^2}=\sqrt{40}$.

Произведение длин: $\sqrt{40}\cdot\sqrt{40}=40$.

$$\cos\varphi=\dfrac{-24}{40}=-0{,}6.$$

Проверка: косинус отрицательный, то есть угол тупой. Так и должно быть: у $\vec a$ обе координаты положительные, у $\vec b$ — обе отрицательные, векторы смотрят в «противоположные четверти». И $|-0{,}6|\le1$, как положено косинусу.