Применение… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00028844

Главное здесь — не перепутать, что нарисовано. Подпись у кривой $y=f'(x)$ означает: перед нами график производной, а сама функция $f(x)$ на картинке не изображена. Про неё мы будем судить косвенно.

Точка максимума — это место, где функция сначала росла, а потом начала убывать. На языке производной это звучит так: производная меняет знак с плюса на минус.

А знак производной на рисунке виден сразу: там, где кривая идёт выше оси $Ox$, производная положительна, где ниже — отрицательна. Значит точка максимума — это место, где график производной пересекает ось $Ox$, спускаясь сверху вниз.

Обрати внимание: пересечения снизу вверх нам не нужны — там производная меняет знак с минуса на плюс, и это точки минимума. Просто считать все нули производной нельзя, иначе ответ будет вдвое больше.

Теперь ограничим область поиска. Функция задана на интервале $(-12;12)$, но нас интересует только отрезок $[-6;11]$ — считаем лишь те пересечения, которые попали в эти границы.

Проходим по графику слева направо, начиная с $x=-6$.

В самой точке $x=-6$ кривая уже находится выше оси и держится над ней ещё некоторое время. Первое пересечение сверху вниз происходит примерно при $x=-4$ — это первая точка максимума.

Дальше кривая долго идёт под осью и поднимается над ней только левее оси $Oy$. Она образует высокий пик и снова опускается под ось чуть правее $x=1$ — вторая точка максимума.

Сразу за этим кривая делает небольшую ямку под осью, опять выныривает и второй раз ныряет вниз около $x=3$ — третья точка максимума.

Затем идёт длинный участок под осью. Кривая возвращается наверх только ближе к $x=8$, образует пик и опускается под ось чуть левее $x=9$ — четвёртая точка максимума.

После этого кривая снова поднимается, даёт последний пик и опускается под ось между $x=10$ и $x=11$ — пятая точка максимума. Дальше до правого конца отрезка кривая остаётся под осью, новых пересечений нет.

Складываем найденные точки: $1+1+1+1+1=5$.

Проверим себя: у каждого «нырка» под ось есть парный «вынырок» вверх, но точками максимума считаются только спуски через ось, и мы насчитали их пять.