Применение… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00028841

Сначала разберёмся, что перед нами. У кривой стоит подпись $y=f(x)$, то есть нарисована сама функция, а вовсе не её производная. Производную на картинке напрямую не увидеть — о ней придётся судить по тому, как ведёт себя кривая.

Связь такая: производная в точке показывает, растёт функция в этом месте или падает. Если в окрестности точки график идёт вниз (слева направо кривая опускается), функция убывает и производная отрицательна. Если график идёт вверх — функция возрастает и производная положительна.

Значит вопрос «в скольких точках производная отрицательна» на деле означает: в скольких отмеченных точках кривая идёт под уклон вниз.

Важная деталь: у каждой точки от оси вверх или вниз проведена вертикальная чёрточка. Ориентироваться надо на неё, а не на то, где напечатана подпись — подписи нарочно раздвинуты, чтобы не наезжали друг на друга.

Идём по точкам слева направо.

Точки $x_1$ и $x_2$ стоят на первом длинном спуске к самой глубокой впадине графика. Кривая там опускается — производная отрицательна, обе засчитываем.

Точка $x_3$ находится уже после этой впадины, на крутом подъёме к первой вершине. Кривая растёт — производная положительна, не считаем.

Точка $x_4$ — после первой вершины, на спуске к следующей впадине. Кривая опускается — засчитываем.

Точки $x_5$ и $x_6$ обе лежат на спуске со следующего холма (того, что сразу справа от оси $Oy$) ко дну очередной ямки. Кривая опускается — засчитываем обе.

Точка $x_7$ стоит на подъёме к самой высокой вершине правой части. Кривая растёт — не считаем.

Точки $x_8$ и $x_9$ обе на спуске с этой высокой вершины. Кривая опускается — засчитываем обе.

Точка $x_{10}$ находится уже за дном последней ямки, на подъёме — не считаем.

Собираем засчитанные точки: $x_1$, $x_2$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_8$, $x_9$. Их количество: $2+1+2+2=7$.

Проверим себя: точек всего десять, на подъёме оказались три ($x_3$, $x_7$, $x_{10}$), и $10-3=7$ — сходится.