Задание 8 ЕГЭ по математике: На рисунке изображён график y равно f' левая круглая скобка x…

Сначала поймём, что нарисовано. Подпись у кривой — y=f'(x), значит перед нами график производной, а не график самой функции f. Ни одной точки функции f мы на картинке не видим, зато видим, как она себя ведёт: там, где кривая выше оси Ox, функция растёт, а там, где кривая ниже оси, функция убывает.

Что такое точка минимума функции? Это место, где убывание сменяется возрастанием: функция шла вниз, дошла до дна и пошла вверх. На языке производной это значит, что слева от такой точки f'(x)\lt0, а справа f'(x)\gt0. То есть на рисунке надо искать места, где кривая пересекает ось Ox снизу вверх.

Сразу подчеркнём главное правило подсчёта: важен только ПЕРЕХОД ЧЕРЕЗ ОСЬ. Все ямы и горбики самой кривой, которые не дотягиваются до оси, к точкам экстремума функции отношения не имеют.

Считать будем только на отрезке [-4;9], как и просят в условии. Отчеркнём мысленно вертикали x=-4 и x=9 и идём слева направо.

У левой границы кривая лежит ниже оси. Примерно при x\approx-2{,}4 она поднимается и пересекает ось снизу вверх — это первая точка минимума.

Дальше кривая какое-то время идёт выше оси, около x\approx-1{,}5 спускается обратно и пересекает ось сверху вниз. Такой переход даёт точку максимума, и мы его не считаем.

Затем кривая идёт под осью и чуть правее нуля снова выходит наверх, пересекая ось снизу вверх, — это вторая точка минимума.

Около x\approx1{,}7 кривая опять опускается под ось (снова максимум, не считаем) и надолго остаётся отрицательной. Вот здесь и стоит главная ловушка задачи: на участке примерно от x=3 до x=6 кривая заметно шевелится — опускается до уровня около -2{,}9, потом поднимается горбиком до уровня около -2, потом снова проседает до -2{,}6. Легко принять эти яму и горбик за экстремумы и насчитать лишние точки. Но все они лежат НИЖЕ оси Ox: производная там всё время отрицательна, знак не меняется, а значит функция f на всём этом куске просто монотонно убывает — то быстрее, то медленнее, но без разворотов.

Только около x=6 кривая наконец добирается до оси и пересекает её снизу вверх — это третья точка минимума.

Затем около x\approx7{,}5 кривая уходит под ось (максимум, не считаем), а примерно при x\approx8{,}3 снова пересекает её снизу вверх — это четвёртая точка минимума. До правой границы x=9 кривая остаётся выше оси, больше пересечений нет.

Итого переходов «с минуса на плюс» на отрезке [-4;9] мы насчитали четыре: -2{,}4, чуть правее нуля, около 6 и около 8{,}3. Столько же у функции f и точек минимума.

Проверим себя: пересечений оси всего было семь, они обязаны чередоваться — минимум, максимум, минимум, максимум и так далее. У нас получилось четыре «снизу вверх» и три «сверху вниз», чередование сходится, значит ни одно пересечение мы не пропустили и не посчитали дважды.