ID: 00028717
На рисунке изображён график $y=f'\left(x \right)$ — производной функции $f\left(x \right)$, определённой на интервале $\left(-5;14 \right)$. Найдите количество точек минимума функции $f\left(x \right)$, принадлежащих отрезку $\left[-4;9 \right]$.
Источник: ФИПИ
Сначала поймём, что нарисовано. Подпись у кривой — $y=f'(x)$, значит перед нами график производной, а не график самой функции $f$. Ни одной точки функции $f$ мы на картинке не видим, зато видим, как она себя ведёт: там, где кривая выше оси $Ox$, функция растёт, а там, где кривая ниже оси, функция убывает.
Что такое точка минимума функции? Это место, где убывание сменяется возрастанием: функция шла вниз, дошла до дна и пошла вверх. На языке производной это значит, что слева от такой точки $f'(x)\lt0$, а справа $f'(x)\gt0$. То есть на рисунке надо искать места, где кривая пересекает ось $Ox$ снизу вверх.
Сразу подчеркнём главное правило подсчёта: важен только ПЕРЕХОД ЧЕРЕЗ ОСЬ. Все ямы и горбики самой кривой, которые не дотягиваются до оси, к точкам экстремума функции отношения не имеют.
Считать будем только на отрезке $[-4;9]$, как и просят в условии. Отчеркнём мысленно вертикали $x=-4$ и $x=9$ и идём слева направо.
У левой границы кривая лежит ниже оси. Примерно при $x\approx-2{,}4$ она поднимается и пересекает ось снизу вверх — это первая точка минимума.
Дальше кривая какое-то время идёт выше оси, около $x\approx-1{,}5$ спускается обратно и пересекает ось сверху вниз. Такой переход даёт точку максимума, и мы его не считаем.
Затем кривая идёт под осью и чуть правее нуля снова выходит наверх, пересекая ось снизу вверх, — это вторая точка минимума.
Около $x\approx1{,}7$ кривая опять опускается под ось (снова максимум, не считаем) и надолго остаётся отрицательной. Вот здесь и стоит главная ловушка задачи: на участке примерно от $x=3$ до $x=6$ кривая заметно шевелится — опускается до уровня около $-2{,}9$, потом поднимается горбиком до уровня около $-2$, потом снова проседает до $-2{,}6$. Легко принять эти яму и горбик за экстремумы и насчитать лишние точки. Но все они лежат НИЖЕ оси $Ox$: производная там всё время отрицательна, знак не меняется, а значит функция $f$ на всём этом куске просто монотонно убывает — то быстрее, то медленнее, но без разворотов.
Только около $x=6$ кривая наконец добирается до оси и пересекает её снизу вверх — это третья точка минимума.
Затем около $x\approx7{,}5$ кривая уходит под ось (максимум, не считаем), а примерно при $x\approx8{,}3$ снова пересекает её снизу вверх — это четвёртая точка минимума. До правой границы $x=9$ кривая остаётся выше оси, больше пересечений нет.
Итого переходов «с минуса на плюс» на отрезке $[-4;9]$ мы насчитали четыре: $-2{,}4$, чуть правее нуля, около $6$ и около $8{,}3$. Столько же у функции $f$ и точек минимума.
Проверим себя: пересечений оси всего было семь, они обязаны чередоваться — минимум, максимум, минимум, максимум и так далее. У нас получилось четыре «снизу вверх» и три «сверху вниз», чередование сходится, значит ни одно пересечение мы не пропустили и не посчитали дважды.