На рисунке изображён график y равно f' левая круглая скобка x правая круглая скобка — производной функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка , определённой на интервале левая круглая скобка минус 9; 10 правая круглая скобка . Найдите количество точек максимума функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка , принадлежащих отрезку левая квадратная скобка минус 6; 8 правая квадратная скобка .

Задание 8 ЕГЭ по математике: На рисунке изображён график y равно f' левая круглая скобка x…

№2. Задание 8

ID: 00028845

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определённой на интервале $(-9;10)$ . Найдите количество точек максимума функции $f(x)$ , принадлежащих отрезку $[-6;8]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Сначала о том, что нарисовано. Подпись $y=f'(x)$ говорит: это график производной, а не самой функции $f$ . Значит про поведение $f$ мы узнаём по тому, где производная положительна, где отрицательна и где она меняет знак.

Точка максимума функции — это точка, в которой рост сменяется убыванием. Через производную это выглядит так: слева от точки производная положительна, справа — отрицательна. На картинке производная положительна там, где кривая выше оси $Ox$ , и отрицательна там, где ниже.

Получается рабочее правило: точка максимума — это место, где кривая производной пересекает ось $Ox$ , идя сверху вниз. Пересечения снизу вверх дают точки минимума, их считать не нужно.

Ещё важно не забыть про границы. Сама функция определена на интервале $(-9;10)$ , но искать точки надо только на отрезке $[-6;8]$ , то есть внутри этих узких рамок.

Смотрим на график слева направо и отмечаем все спуски через ось.

Первый такой спуск происходит в левой части рисунка, примерно при $x=-7$ . Это действительно точка максимума функции, но она левее $x=-6$ , а значит в наш отрезок не попадает и в ответ не идёт.

Дальше кривая долго тянется под осью и поднимается над ней только один раз — в виде острого пика левее оси $Oy$ . Этот пик заканчивается спуском через ось примерно при $x=-1{,}5$ . Вот это пересечение уже лежит внутри отрезка $[-6;8]$ , и это точка максимума, которую мы засчитываем.

После неё кривая уходит под ось и остаётся там очень долго: она изгибается волнами, но всё время держится ниже оси $Ox$ . Значит новых точек максимума на этом куске нет — функция здесь просто убывает.

Ближе к $x=6$ кривая наконец выходит наверх и поднимается до высокого пологого участка. Но опускается обратно под ось она только примерно при $x=9$ , а это уже правее границы $x=8$ . Значит и эта точка максимума в ответ не идёт.

Итого внутри отрезка $[-6;8]$ спуск через ось встретился ровно один раз, поэтому точек максимума $1$ .

Проверим себя: на всём рисунке спусков через ось три (около $-7$ , около $-1{,}5$ и около $9$ ), но два из них выпали за границы отрезка — остаётся одна точка.

Ответ