Применение… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00028845

Сначала о том, что нарисовано. Подпись $y=f'(x)$ говорит: это график производной, а не самой функции $f$. Значит про поведение $f$ мы узнаём по тому, где производная положительна, где отрицательна и где она меняет знак.

Точка максимума функции — это точка, в которой рост сменяется убыванием. Через производную это выглядит так: слева от точки производная положительна, справа — отрицательна. На картинке производная положительна там, где кривая выше оси $Ox$, и отрицательна там, где ниже.

Получается рабочее правило: точка максимума — это место, где кривая производной пересекает ось $Ox$, идя сверху вниз. Пересечения снизу вверх дают точки минимума, их считать не нужно.

Ещё важно не забыть про границы. Сама функция определена на интервале $(-9;10)$, но искать точки надо только на отрезке $[-6;8]$, то есть внутри этих узких рамок.

Смотрим на график слева направо и отмечаем все спуски через ось.

Первый такой спуск происходит в левой части рисунка, примерно при $x=-7$. Это действительно точка максимума функции, но она левее $x=-6$, а значит в наш отрезок не попадает и в ответ не идёт.

Дальше кривая долго тянется под осью и поднимается над ней только один раз — в виде острого пика левее оси $Oy$. Этот пик заканчивается спуском через ось примерно при $x=-1{,}5$. Вот это пересечение уже лежит внутри отрезка $[-6;8]$, и это точка максимума, которую мы засчитываем.

После неё кривая уходит под ось и остаётся там очень долго: она изгибается волнами, но всё время держится ниже оси $Ox$. Значит новых точек максимума на этом куске нет — функция здесь просто убывает.

Ближе к $x=6$ кривая наконец выходит наверх и поднимается до высокого пологого участка. Но опускается обратно под ось она только примерно при $x=9$, а это уже правее границы $x=8$. Значит и эта точка максимума в ответ не идёт.

Итого внутри отрезка $[-6;8]$ спуск через ось встретился ровно один раз, поэтому точек максимума $1$.

Проверим себя: на всём рисунке спусков через ось три (около $-7$, около $-1{,}5$ и около $9$), но два из них выпали за границы отрезка — остаётся одна точка.