Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00013770

Это произведение двух множителей. Первый сворачивается в полный квадрат (а значит неотрицателен), а знак всего произведения определяет второй множитель. Разберёмся по шагам.

Область определения: $x+3\gt 0$, $(x+3)^{2}\gt 0$ и $x+2\gt 0$. Самое строгое — $x\gt -2$.

Обозначим $m=\log_4(x+3)$. Тогда $\log_{0,25}(x+3)=-m$ (ведь $0{,}25=4^{-1}$), поэтому $\log_{0,25}^{2}(x+3)=m^{2}$, а $\log_4(x^{2}+6x+9)=\log_4(x+3)^{2}=2m$. Первый множитель:

$$m^{2}-2m+1=(m-1)^{2}.$$

Неравенство стало $(m-1)^{2}\cdot\log_4(x+2)\leqslant 0$. Так как $(m-1)^{2}\geqslant 0$, произведение неположительно в двух случаях: либо $\log_4(x+2)\leqslant 0$, либо первый множитель равен нулю, $(m-1)^{2}=0$.

Случай $\log_4(x+2)\leqslant 0$: $0\lt x+2\leqslant 1$, то есть $-2\lt x\leqslant -1$. Случай $(m-1)^{2}=0$: $\log_4(x+3)=1$, то есть $x+3=4$, значит $x=1$.

Объединяя, получаем $(-2;-1]\cup\{1\}$.