Логарифмичес… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00013774

Это дробь, и нам надо понять, где она не больше нуля. Разберём отдельно числитель и знаменатель, а потом расставим знаки по числовой прямой. Модуль в знаменателе раскроется сам, как только найдём область определения.

Область определения: аргументы логарифмов положительны, $9x\gt 0$ и $64x\gt 0$, значит $x\gt 0$. А при $x\gt 0$ модуль $|x|=x$, и знаменатель равен $5x^{2}-x=x(5x-1)$.

Числитель $\log_3(9x)\cdot\log_4(64x)$ равен нулю, когда хоть один множитель ноль: $9x=1$ даёт $x=\dfrac19$, а $64x=1$ даёт $x=\dfrac1{64}$. Знаменатель равен нулю при $x=\dfrac15$ (точка $x=0$ вне области).

Расставим на луче $x\gt 0$ три точки по возрастанию: $\dfrac1{64}\lt \dfrac19\lt \dfrac15$. Посмотрим знаки кусочков: $\log_3(9x)\lt 0$ при $x\lt \dfrac19$; $\log_4(64x)\lt 0$ при $x\lt \dfrac1{64}$; знаменатель $x(5x-1)\lt 0$ при $0\lt x\lt \dfrac15$.

Собираем знак дроби по промежуткам: на $\left(0;\dfrac1{64}\right)$ она отрицательна, на $\left(\dfrac1{64};\dfrac19\right)$ положительна, на $\left(\dfrac19;\dfrac15\right)$ снова отрицательна, дальше положительна.

Нам нужно «$\leqslant 0$»: берём отрицательные куски и нули числителя. Точки $x=\dfrac1{64}$ и $x=\dfrac19$ входят (дробь там ноль), а $x=\dfrac15$ выколота (там деление на ноль). Получаем $\left(0;\dfrac1{64}\right]\cup\left[\dfrac19;\dfrac15\right)$.