Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00013768

Хитрость в знаменателе: $\log_6^{2}(\dots)+1$ — это «что-то в квадрате плюс единица», всегда не меньше $1$, значит положительно. Положительный знаменатель знак дроби не меняет: всё решает числитель. Знак нестрогий.

Область определения: $\log_2 x^{2}$ и $\log_3 x^{2}$ требуют $x\ne 0$; под $\log_6$ должно быть положительное число: $2x^{2}-10x+12{,}5=2(x-2{,}5)^{2}\gt 0$, то есть $x\ne 2{,}5$.

Значит неравенство равносильно $\log_2 x^{2}-\log_3 x^{2}\geqslant 0$. Запишем через натуральный логарифм: $\log_2 x^{2}-\log_3 x^{2}=\ln x^{2}\left(\dfrac{1}{\ln 2}-\dfrac{1}{\ln 3}\right)$.

Скобка положительна ($\ln 2\lt \ln 3$), поэтому знак совпадает со знаком $\ln x^{2}$:

$$\ln x^{2}\geqslant 0\;\Leftrightarrow\;x^{2}\geqslant 1\;\Leftrightarrow\;|x|\geqslant 1.$$

Значит $x\leqslant -1$ или $x\geqslant 1$ (концы входят). Выкалываем $x=2{,}5$ и получаем $(-\infty;-1]\cup\left[1;\dfrac52\right)\cup\left(\dfrac52;+\infty\right)$.