Хитрость в знаменателе: \log_6^{2}(\dots)+1 — это «что-то в квадрате плюс единица», всегда не меньше 1, значит положительно. Положительный знаменатель знак дроби не меняет: всё решает числитель. Знак нестрогий.

Область определения: \log_2 x^{2} и \log_3 x^{2} требуют x\ne 0; под \log_6 должно быть положительное число: 2x^{2}-10x+12{,}5=2(x-2{,}5)^{2}\gt 0, то есть x\ne 2{,}5.

Значит неравенство равносильно \log_2 x^{2}-\log_3 x^{2}\geqslant 0. Запишем через натуральный логарифм: \log_2 x^{2}-\log_3 x^{2}=\ln x^{2}\left(\dfrac{1}{\ln 2}-\dfrac{1}{\ln 3}\right).

Скобка положительна (\ln 2\lt \ln 3), поэтому знак совпадает со знаком \ln x^{2}:

\ln x^{2}\geqslant 0\;\Leftrightarrow\;x^{2}\geqslant 1\;\Leftrightarrow\;|x|\geqslant 1.

Значит x\leqslant -1 или x\geqslant 1 (концы входят). Выкалываем x=2{,}5 и получаем (-\infty;-1]\cup\left[1;\dfrac52\right)\cup\left(\dfrac52;+\infty\right).