Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004428

Дробь, и нам нужно понять, где она не больше нуля. Модуль в знаменателе раскроется сразу, как только найдём область определения, а дальше — метод интервалов на луче $x\gt 0$.

Область определения: аргументы логарифмов $8x\gt 0$ и $27x\gt 0$ дают $x\gt 0$. При $x\gt 0$ модуль $|x|=x$, и знаменатель равен $x^{2}-x=x(x-1)$.

Числитель $\log_2(8x)\cdot\log_3(27x)$ равен нулю, когда хоть один множитель ноль: $8x=1$ даёт $x=\dfrac18$, $27x=1$ даёт $x=\dfrac1{27}$. Знаменатель равен нулю при $x=1$.

Отметим на луче три точки по возрастанию: $\dfrac1{27}\lt \dfrac18\lt 1$. Знаки кусочков: $\log_2(8x)\lt 0$ при $x\lt \dfrac18$; $\log_3(27x)\lt 0$ при $x\lt \dfrac1{27}$; знаменатель $x(x-1)\lt 0$ при $0\lt x\lt 1$.

Собираем знак дроби: на $\left(0;\dfrac1{27}\right)$ отрицательна, на $\left(\dfrac1{27};\dfrac18\right)$ положительна, на $\left(\dfrac18;1\right)$ снова отрицательна.

Нам нужно «$\leqslant 0$»: берём отрицательные куски и нули числителя. Точки $x=\dfrac18$ и $x=\dfrac1{27}$ входят, $x=1$ выколота. Итог: $\left(0;\dfrac1{27}\right]\cup\left[\dfrac18;1\right)$.