Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00028839

Что тут происходит. На доске идут подряд натуральные числа — назовём этот отрезок «окном». Кратные любому числу $m$ внутри окна стоят через равные промежутки длиной $m$. Значит, всё решение сводится к простому наблюдению: чем длиннее окно, тем больше в нём кратных, и наоборот.

Сначала поймём, какой длины бывает наше окно. В нём ровно пять чисел, кратных $20$. Между первым и пятым таким числом расстояние равно $4\cdot 20=80$, поэтому окно содержит не меньше $81$ числа. С другой стороны, в любых $120$ подряд идущих числах кратных $20$ ровно шесть, поэтому окно короче: в нём не больше $119$ чисел. Например, окно $1,2,\dots,119$ содержит кратные $20,40,60,80,100$ — ровно пять.

Пункт а). Нужно шесть кратных $21$ — они занимают отрезок длиной $5\cdot 21=105$, а окно может быть длиной до $119$, так что места хватает. Но одного «места хватает» мало: нужно предъявить настоящий пример, где условие про пятёрку кратных $20$ тоже выполнено.

Возьмём окно из чисел от $441$ до $559$ (это $119$ чисел подряд). Кратные $21$: $441,\ 462,\ 483,\ 504,\ 525,\ 546$ — их шесть, то есть больше пяти. Кратные $20$: $460,\ 480,\ 500,\ 520,\ 540$ — ровно пять, как требуется ($440$ и $560$ в окно не попали). Значит, да, могло.

Пункт б). Здесь ответ отрицательный, и это надо доказать. Мы уже выяснили, что в окне не меньше $81$ числа. Разобьём первые $75$ чисел окна на пять кусков по $15$ подряд идущих чисел. В любых $15$ подряд идущих числах ровно одно делится на $15$. Значит, только в этих пяти кусках наберётся пять кратных $15$, а окно ещё и длиннее. Поэтому кратных $15$ не может быть меньше пяти — ответ нет.

Пункт в). Как всегда в таком пункте, нужны две части: оценка (доказать, что больше найденного $k$ быть не может) и пример (показать окно, где это $k$ работает). Без оценки мы не докажем, что не бывает $k$ побольше; без примера — что найденное $k$ вообще возможно.

Оценка. Если кратных $k$ больше пяти, то их не меньше шести, и от первого до шестого расстояние равно $5k$. Значит, в окне не меньше $5k+1$ чисел. Но окно содержит не больше $119$ чисел, поэтому $5k+1\leqslant 119$, откуда $5k\leqslant 118$ и $k\leqslant 23{,}6$. Так как $k$ целое, $k\leqslant 23$.

Пример. Проверим, что $k=23$ действительно достижимо. Возьмём окно из чисел от $161$ до $279$ (ровно $119$ чисел). Кратные $23$: $161,\ 184,\ 207,\ 230,\ 253,\ 276$ — шесть штук, больше пяти. Кратные $20$: $180,\ 200,\ 220,\ 240,\ 260$ — ровно пять ($160$ и $280$ в окно не попадают). Все условия выполнены.

Значит, наибольшее возможное значение — $k=23$.