Задание 19 ЕГЭ по математике: На доске записано некоторое количество последовательных…

Что тут происходит. На доске идут подряд натуральные числа — назовём этот отрезок «окном». Кратные любому числу m внутри окна стоят через равные промежутки длиной m. Значит, всё решение сводится к простому наблюдению: чем длиннее окно, тем больше в нём кратных, и наоборот.

Сначала поймём, какой длины бывает наше окно. В нём ровно пять чисел, кратных 20. Между первым и пятым таким числом расстояние равно 4\cdot 20=80, поэтому окно содержит не меньше 81 числа. С другой стороны, в любых 120 подряд идущих числах кратных 20 ровно шесть, поэтому окно короче: в нём не больше 119 чисел. Например, окно 1,2,\dots,119 содержит кратные 20,40,60,80,100 — ровно пять.

Пункт а). Нужно шесть кратных 21 — они занимают отрезок длиной 5\cdot 21=105, а окно может быть длиной до 119, так что места хватает. Но одного «места хватает» мало: нужно предъявить настоящий пример, где условие про пятёрку кратных 20 тоже выполнено.

Возьмём окно из чисел от 441 до 559 (это 119 чисел подряд). Кратные 21: 441,\ 462,\ 483,\ 504,\ 525,\ 546 — их шесть, то есть больше пяти. Кратные 20: 460,\ 480,\ 500,\ 520,\ 540 — ровно пять, как требуется (440 и 560 в окно не попали). Значит, да, могло.

Пункт б). Здесь ответ отрицательный, и это надо доказать. Мы уже выяснили, что в окне не меньше 81 числа. Разобьём первые 75 чисел окна на пять кусков по 15 подряд идущих чисел. В любых 15 подряд идущих числах ровно одно делится на 15. Значит, только в этих пяти кусках наберётся пять кратных 15, а окно ещё и длиннее. Поэтому кратных 15 не может быть меньше пяти — ответ нет.

Пункт в). Как всегда в таком пункте, нужны две части: оценка (доказать, что больше найденного k быть не может) и пример (показать окно, где это k работает). Без оценки мы не докажем, что не бывает k побольше; без примера — что найденное k вообще возможно.

Оценка. Если кратных k больше пяти, то их не меньше шести, и от первого до шестого расстояние равно 5k. Значит, в окне не меньше 5k+1 чисел. Но окно содержит не больше 119 чисел, поэтому 5k+1\leqslant 119, откуда 5k\leqslant 118 и k\leqslant 23{,}6. Так как k целое, k\leqslant 23.

Пример. Проверим, что k=23 действительно достижимо. Возьмём окно из чисел от 161 до 279 (ровно 119 чисел). Кратные 23: 161,\ 184,\ 207,\ 230,\ 253,\ 276 — шесть штук, больше пяти. Кратные 20: 180,\ 200,\ 220,\ 240,\ 260 — ровно пять (160 и 280 в окно не попадают). Все условия выполнены.

Значит, наибольшее возможное значение — k=23.