Работаем с остатками по модулю 3. Две соседние четвёрки подряд отличаются заменой x_i на x_{i+4}, обе суммы делятся на 3, значит x_{i+4}\equiv x_i\pmod 3. Кроме того, сумма трёх подряд x_i+x_{i+1}+x_{i+2}\equiv -x_{i+3}\pmod 3, и она не делится на 3, поэтому x_{i+3}\not\equiv 0. Так как каждое число — это чей-то x_{i+3}, ни одно число не делится на 3: все остатки равны 1 или 2.

Обозначим, сколько чисел дают остаток 2. В каждой четвёрке подряд сумма делится на 3; четыре числа из остатков 1 и 2 дают кратную 3 сумму только когда среди них ровно две двойки и две единицы (тогда сумма 2+2+1+1=6). Сложим это по всем N четвёркам: каждое число посчитано ровно 4 раза, а в каждой четвёрке ровно 2 двойки, поэтому 4\cdot(\text{число двоек})=2N, откуда двоек ровно N/2. Значит, N чётно, а чисел с остатком 2 и с остатком 1 поровну — по N/2.

Посчитаем, сколько таких чисел до 340: с остатком 1 — это 1,4,\dots,340, всего 114; с остатком 2 — это 2,5,\dots,338, всего 113.

а) N=240 потребует N/2=120 чисел с остатком 2, а их всего 113 — не хватит. Нет.

б) N=129 нечётно, а мы доказали, что N обязано быть чётным. Нет.

в) Нужно по N/2 чисел каждого остатка, и ограничивает более редкий остаток 2: N/2\le 113, то есть N\le 226. Значение N=226 строится: расставим по кругу, чередуя, 113 чисел с остатком 1 и 113 чисел с остатком 2. Тогда любые четыре подряд имеют остатки 1,2,1,2, сумма 6 делится на 3; любые три подряд — остатки 1,2,1 или 2,1,2, суммы 4 и 5 на 3 не делятся. Наибольшее N — 226.