ID: 00022440
Источник: ФИПИ
Работаем с остатками по модулю $3$. Две соседние четвёрки подряд отличаются заменой $x_i$ на $x_{i+4}$, обе суммы делятся на $3$, значит $x_{i+4}\equiv x_i\pmod 3$. Кроме того, сумма трёх подряд $x_i+x_{i+1}+x_{i+2}\equiv -x_{i+3}\pmod 3$, и она не делится на $3$, поэтому $x_{i+3}\not\equiv 0$. Так как каждое число — это чей-то $x_{i+3}$, ни одно число не делится на $3$: все остатки равны $1$ или $2$.
Обозначим, сколько чисел дают остаток $2$. В каждой четвёрке подряд сумма делится на $3$; четыре числа из остатков $1$ и $2$ дают кратную $3$ сумму только когда среди них ровно две двойки и две единицы (тогда сумма $2+2+1+1=6$). Сложим это по всем $N$ четвёркам: каждое число посчитано ровно $4$ раза, а в каждой четвёрке ровно $2$ двойки, поэтому $4\cdot(\text{число двоек})=2N$, откуда двоек ровно $N/2$. Значит, $N$ чётно, а чисел с остатком $2$ и с остатком $1$ поровну — по $N/2$.
Посчитаем, сколько таких чисел до $340$: с остатком $1$ — это $1,4,\dots,340$, всего $114$; с остатком $2$ — это $2,5,\dots,338$, всего $113$.
а) $N=240$ потребует $N/2=120$ чисел с остатком $2$, а их всего $113$ — не хватит. Нет.
б) $N=129$ нечётно, а мы доказали, что $N$ обязано быть чётным. Нет.
в) Нужно по $N/2$ чисел каждого остатка, и ограничивает более редкий остаток $2$: $N/2\le 113$, то есть $N\le 226$. Значение $N=226$ строится: расставим по кругу, чередуя, $113$ чисел с остатком $1$ и $113$ чисел с остатком $2$. Тогда любые четыре подряд имеют остатки $1,2,1,2$, сумма $6$ делится на $3$; любые три подряд — остатки $1,2,1$ или $2,1,2$, суммы $4$ и $5$ на $3$ не делятся. Наибольшее $N$ — 226.