Числа и их… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00022446

Пусть в группе $N$ юношей и $N$ девушек. Среди юношей $p$ отправили по $5$ писем и $q$ — по $16$ писем, причём $p + q = N$, $p \ge 2$, $q \ge 2$. Всего отправлено (и получено девушками) $5p + 16q$ писем.

а) Если каждая из $N$ девушек получила ровно $7$ писем, то всего писем $7N$. Значит $5p + 16q = 7(p+q)$, откуда $9q = 2p$. Возьмём $q = 2$, тогда $p = 9$, и $N = 11$. Оба типа юношей есть ($p=9\ge2$, $q=2\ge2$), всего писем $5\cdot 9 + 16\cdot 2 = 77 = 7\cdot 11$. Осталось разложить $77$ писем по $11$ девушкам, по $7$ каждой — это возможно, ведь юноша волен слать несколько писем одной девушке, а общее число сходится. Значит, да, такое могло быть.

б) Пусть каждая девушка получила поровну — по $T$ писем, тогда $TN = 5p + 16q$, то есть $T = \dfrac{5p+16q}{p+q} = 5 + \dfrac{11q}{p+q}$. Чтобы $T$ было целым, нужно, чтобы $N = p+q$ делило $11q$. Перебирая $N = 4, 5, \dots, 10$ (при $p, q \ge 2$), ни разу не удаётся добиться делимости. А вот $N = 11$ подходит при любом разбиении: тогда $\dfrac{11q}{11} = q$ — целое. Например, $p = 9$, $q = 2$ дают $T = 7$ (как в пункте а). Значит, наименьшее число девушек — $11$.

в) Теперь все $N$ девушек получили попарно различное число писем (возможно, кто-то $0$). Тогда эти числа — $N$ различных целых неотрицательных чисел, и их сумма не меньше, чем $0 + 1 + 2 + \dots + (N-1) = \dfrac{N(N-1)}{2}$. С другой стороны, писем всего $5p + 16q$, и при $p+q = N$, $p \ge 2$ их больше всего, когда «богатых» юношей побольше: $p = 2$, $q = N-2$, и тогда писем $5\cdot 2 + 16(N-2) = 16N - 22$. Поэтому нужно $16N - 22 \ge \dfrac{N(N-1)}{2}$.

Раскроем: $32N - 44 \ge N^2 - N$, то есть $N^2 - 33N + 44 \le 0$. Корни квадратного трёхчлена примерно $1{,}4$ и $31{,}6$, поэтому целые $N$ подходят вплоть до $N = 31$. Проверим $N = 31$: писем максимум $16\cdot 31 - 22 = 474$, а наименьшая сумма $31$ различных неотрицательных чисел — $\dfrac{31\cdot 30}{2} = 465$. Так как $474 \ge 465$, можно взять, например, числа $0, 1, 2, \dots, 29, 39$ (это $31$ различное число с суммой $474$) и раздать столько писем девушкам. А при $N = 32$ уже $16\cdot 32 - 22 = 490 < \dfrac{32\cdot 31}{2} = 496$ — писем не хватит. Значит, наибольшее возможное число девушек равно $31$.