Пусть в группе N юношей и N девушек. Среди юношей p отправили по 5 писем и q — по 16 писем, причём p + q = N, p \ge 2, q \ge 2. Всего отправлено (и получено девушками) 5p + 16q писем.

а) Если каждая из N девушек получила ровно 7 писем, то всего писем 7N. Значит 5p + 16q = 7(p+q), откуда 9q = 2p. Возьмём q = 2, тогда p = 9, и N = 11. Оба типа юношей есть (p=9\ge2, q=2\ge2), всего писем 5\cdot 9 + 16\cdot 2 = 77 = 7\cdot 11. Осталось разложить 77 писем по 11 девушкам, по 7 каждой — это возможно, ведь юноша волен слать несколько писем одной девушке, а общее число сходится. Значит, да, такое могло быть.

б) Пусть каждая девушка получила поровну — по T писем, тогда TN = 5p + 16q, то есть T = \dfrac{5p+16q}{p+q} = 5 + \dfrac{11q}{p+q}. Чтобы T было целым, нужно, чтобы N = p+q делило 11q. Перебирая N = 4, 5, \dots, 10 (при p, q \ge 2), ни разу не удаётся добиться делимости. А вот N = 11 подходит при любом разбиении: тогда \dfrac{11q}{11} = q — целое. Например, p = 9, q = 2 дают T = 7 (как в пункте а). Значит, наименьшее число девушек — 11.

в) Теперь все N девушек получили попарно различное число писем (возможно, кто-то 0). Тогда эти числа — N различных целых неотрицательных чисел, и их сумма не меньше, чем 0 + 1 + 2 + \dots + (N-1) = \dfrac{N(N-1)}{2}. С другой стороны, писем всего 5p + 16q, и при p+q = N, p \ge 2 их больше всего, когда «богатых» юношей побольше: p = 2, q = N-2, и тогда писем 5\cdot 2 + 16(N-2) = 16N - 22. Поэтому нужно 16N - 22 \ge \dfrac{N(N-1)}{2}.

Раскроем: 32N - 44 \ge N^2 - N, то есть N^2 - 33N + 44 \le 0. Корни квадратного трёхчлена примерно 1{,}4 и 31{,}6, поэтому целые N подходят вплоть до N = 31. Проверим N = 31: писем максимум 16\cdot 31 - 22 = 474, а наименьшая сумма 31 различных неотрицательных чисел — \dfrac{31\cdot 30}{2} = 465. Так как 474 \ge 465, можно взять, например, числа 0, 1, 2, \dots, 29, 39 (это 31 различное число с суммой 474) и раздать столько писем девушкам. А при N = 32 уже 16\cdot 32 - 22 = 490 < \dfrac{32\cdot 31}{2} = 496 — писем не хватит. Значит, наибольшее возможное число девушек равно 31.