ID: 00022447
Источник: ФИПИ
Пусть фотографировали $k$ дней ($k>1$). Маша по дням снимала $m, m+1, \dots, m+(k-1)$, Наташа — $n, n+1, \dots, n+(k-1)$. Суммы этих «лесенок»: у Маши $S_M = km + \dfrac{k(k-1)}{2}$, у Наташи $S_N = kn + \dfrac{k(k-1)}{2}$. Разность красиво упрощается: $S_N - S_M = k(n-m)$. По условию это $1001$, значит $k(n-m) = 1001$. Разложим: $1001 = 7\cdot 11\cdot 13$, поэтому число дней $k$ обязано быть делителем числа $1001$.
а) Семь дней: $k = 7$. Число $7$ делит $1001$ (ведь $1001 = 7\cdot 143$), и тогда $n - m = 143$. Возьмём, например, $m = 1$, $n = 144$ — всё складывается. Значит, семь дней возможно.
б) Восемь дней: $k = 8$. Но $1001$ нечётно, а $8$ чётно, поэтому $8$ не делит $1001$: равенство $8\cdot(n-m) = 1001$ в целых числах невозможно. Значит, восемь дней быть не могло.
в) Наташа за все дни сняла $S_N = kn + \dfrac{k(k-1)}{2}$. Так как $n = m + \dfrac{1001}{k}$, удобно записать $S_N = km + 1001 + \dfrac{k(k-1)}{2}$. Условие «в последний день Маша сделала меньше $40$» означает $m + (k-1) \le 39$, то есть $m \le 40 - k$. Чтобы $S_N$ было побольше, берём $m$ наибольшим: $m = 40 - k$. Тогда $S_N = k(40-k) + 1001 + \dfrac{k(k-1)}{2} = 1001 + \dfrac{k(79-k)}{2}$.
Осталось выбрать $k$. Это делитель $1001$, больший $1$, и при этом $m = 40 - k \ge 1$, то есть $k \le 39$. Подходят только $k = 7$, $k = 11$, $k = 13$. Подставляем: при $k=7$ выходит $1001 + \dfrac{7\cdot 72}{2} = 1001 + 252 = 1253$; при $k=11$ — $1001 + \dfrac{11\cdot 68}{2} = 1001 + 374 = 1375$; при $k=13$ — $1001 + \dfrac{13\cdot 66}{2} = 1001 + 429 = 1430$. Больше всего получается при $k=13$.
Проверим этот случай: $m = 40 - 13 = 27$, в последний день Маша сняла $27 + 12 = 39 < 40$ — годится; $n = 27 + \dfrac{1001}{13} = 27 + 77 = 104$. Наташа снимала $104, 105, \dots, 116$, и её сумма равна $13\cdot 104 + \dfrac{13\cdot 12}{2} = 1352 + 78 = 1430$. Разность с Машей: $1430 - 429 = 1001$ — всё сходится. Наибольшее число фотографий Наташи равно $1430$.