Пусть фотографировали k дней (k>1). Маша по дням снимала m, m+1, \dots, m+(k-1), Наташа — n, n+1, \dots, n+(k-1). Суммы этих «лесенок»: у Маши S_M = km + \dfrac{k(k-1)}{2}, у Наташи S_N = kn + \dfrac{k(k-1)}{2}. Разность красиво упрощается: S_N - S_M = k(n-m). По условию это 1001, значит k(n-m) = 1001. Разложим: 1001 = 7\cdot 11\cdot 13, поэтому число дней k обязано быть делителем числа 1001.

а) Семь дней: k = 7. Число 7 делит 1001 (ведь 1001 = 7\cdot 143), и тогда n - m = 143. Возьмём, например, m = 1, n = 144 — всё складывается. Значит, семь дней возможно.

б) Восемь дней: k = 8. Но 1001 нечётно, а 8 чётно, поэтому 8 не делит 1001: равенство 8\cdot(n-m) = 1001 в целых числах невозможно. Значит, восемь дней быть не могло.

в) Наташа за все дни сняла S_N = kn + \dfrac{k(k-1)}{2}. Так как n = m + \dfrac{1001}{k}, удобно записать S_N = km + 1001 + \dfrac{k(k-1)}{2}. Условие «в последний день Маша сделала меньше 40» означает m + (k-1) \le 39, то есть m \le 40 - k. Чтобы S_N было побольше, берём m наибольшим: m = 40 - k. Тогда S_N = k(40-k) + 1001 + \dfrac{k(k-1)}{2} = 1001 + \dfrac{k(79-k)}{2}.

Осталось выбрать k. Это делитель 1001, больший 1, и при этом m = 40 - k \ge 1, то есть k \le 39. Подходят только k = 7, k = 11, k = 13. Подставляем: при k=7 выходит 1001 + \dfrac{7\cdot 72}{2} = 1001 + 252 = 1253; при k=11 — 1001 + \dfrac{11\cdot 68}{2} = 1001 + 374 = 1375; при k=13 — 1001 + \dfrac{13\cdot 66}{2} = 1001 + 429 = 1430. Больше всего получается при k=13.

Проверим этот случай: m = 40 - 13 = 27, в последний день Маша сняла 27 + 12 = 39 < 40 — годится; n = 27 + \dfrac{1001}{13} = 27 + 77 = 104. Наташа снимала 104, 105, \dots, 116, и её сумма равна 13\cdot 104 + \dfrac{13\cdot 12}{2} = 1352 + 78 = 1430. Разность с Машей: 1430 - 429 = 1001 — всё сходится. Наибольшее число фотографий Наташи равно 1430.