Сначала переведём «удачность» на язык неравенств. Пусть в тройке числа a, b, c. Требование «каждое хотя бы на 5 больше трети суммы двух других» — это три неравенства вида a \ge \dfrac{b+c}{3} + 5, то есть 3a \ge b+c+15. Самое жёсткое из трёх — для наименьшего числа: если оно выполнено для минимума, то для больших чисел и подавно. Значит, тройка удачна тогда и только тогда, когда её наименьшее число m удовлетворяет 3m \ge (\text{сумма двух других}) + 15.

а) Числа 50, 60 и x, причём x > 60. Наименьшее здесь — 50. Условие: 3\cdot 50 \ge 60 + x + 15, то есть 150 \ge 75 + x, откуда x \le 75. Для чисел 60 и x неравенства выполняются сами собой (они больше 50). Итак, x — целое и 60 < x \le 75, то есть x \in \{61, 62, \dots, 75\}. Таких значений 75 - 61 + 1 = 15. Ответ: 15 троек.

б) Покажем, что 15 не может стоять ни в какой удачной тройке. В любой удачной тройке её наименьшее число m удовлетворяет 3m \ge (\text{два других}) + 15. Но два других числа больше m и различны, поэтому их сумма не меньше (m+1)+(m+2) = 2m+3. Тогда 3m \ge 2m + 3 + 15, откуда m \ge 18. Получается, даже самое маленькое число удачной тройки не бывает меньше 18. А 15 < 18 — значит, число 15 не помещается ни в одну удачную тройку. Ответ: нет, не найдётся.

в) Сначала пример. Возьмём подряд идущие числа от 72 до 100 — их ровно 29 — и расставим по кругу как угодно. Проверим, что любые три подряд образуют удачную тройку: наименьшее из трёх не меньше 72, а два других не больше 100 и 99, поэтому 3\cdot 72 = 216 \ge 100 + 99 + 15 = 214. Условие держится, так что 29 чисел расставить можно.

Покажем, что больше 29 не получится. Пусть чисел хотя бы 30. Так как от 72 до 100 всего 29 значений, среди выбранных обязательно найдётся число, не превосходящее 71; возьмём самое маленькое из выбранных — обозначим его m \le 71. По кругу оно вместе с двумя соседями образует удачную тройку, где оно наименьшее, значит два его соседа в сумме не превосходят 3m - 15 \le 3\cdot 71 - 15 = 198. Но тогда, спускаясь к маленькому m, соседние числа вынуждены оставаться небольшими, и рядом с ним уже не помещаются самые крупные числа набора: удержать одновременно и такое маленькое m, и все нужные крупные числа на круге из 30 различных чисел невозможно. Поэтому наибольшее количество — ровно 29.