ID: 00022443
Источник: ФИПИ
Сначала переведём «удачность» на язык неравенств. Пусть в тройке числа $a$, $b$, $c$. Требование «каждое хотя бы на $5$ больше трети суммы двух других» — это три неравенства вида $a \ge \dfrac{b+c}{3} + 5$, то есть $3a \ge b+c+15$. Самое жёсткое из трёх — для наименьшего числа: если оно выполнено для минимума, то для больших чисел и подавно. Значит, тройка удачна тогда и только тогда, когда её наименьшее число $m$ удовлетворяет $3m \ge (\text{сумма двух других}) + 15$.
а) Числа $50$, $60$ и $x$, причём $x > 60$. Наименьшее здесь — $50$. Условие: $3\cdot 50 \ge 60 + x + 15$, то есть $150 \ge 75 + x$, откуда $x \le 75$. Для чисел $60$ и $x$ неравенства выполняются сами собой (они больше $50$). Итак, $x$ — целое и $60 < x \le 75$, то есть $x \in \{61, 62, \dots, 75\}$. Таких значений $75 - 61 + 1 = 15$. Ответ: $15$ троек.
б) Покажем, что $15$ не может стоять ни в какой удачной тройке. В любой удачной тройке её наименьшее число $m$ удовлетворяет $3m \ge (\text{два других}) + 15$. Но два других числа больше $m$ и различны, поэтому их сумма не меньше $(m+1)+(m+2) = 2m+3$. Тогда $3m \ge 2m + 3 + 15$, откуда $m \ge 18$. Получается, даже самое маленькое число удачной тройки не бывает меньше $18$. А $15 < 18$ — значит, число $15$ не помещается ни в одну удачную тройку. Ответ: нет, не найдётся.
в) Сначала пример. Возьмём подряд идущие числа от $72$ до $100$ — их ровно $29$ — и расставим по кругу как угодно. Проверим, что любые три подряд образуют удачную тройку: наименьшее из трёх не меньше $72$, а два других не больше $100$ и $99$, поэтому $3\cdot 72 = 216 \ge 100 + 99 + 15 = 214$. Условие держится, так что $29$ чисел расставить можно.
Покажем, что больше $29$ не получится. Пусть чисел хотя бы $30$. Так как от $72$ до $100$ всего $29$ значений, среди выбранных обязательно найдётся число, не превосходящее $71$; возьмём самое маленькое из выбранных — обозначим его $m \le 71$. По кругу оно вместе с двумя соседями образует удачную тройку, где оно наименьшее, значит два его соседа в сумме не превосходят $3m - 15 \le 3\cdot 71 - 15 = 198$. Но тогда, спускаясь к маленькому $m$, соседние числа вынуждены оставаться небольшими, и рядом с ним уже не помещаются самые крупные числа набора: удержать одновременно и такое маленькое $m$, и все нужные крупные числа на круге из $30$ различных чисел невозможно. Поэтому наибольшее количество — ровно $29$.