а) Нам нужно расставить числа так, чтобы сумма модулей разностей соседей получилась ровно 32. Хитрость простая: возьмём числа почти по порядку, тогда почти все разности будут по 1, а нужную «добавку» дадут один-два больших скачка. Возьмём по кругу 1, 2, 3, 4, 5, 12, 6, 7, 8, 9, 11, 10 (а после 10 снова идёт 1). Посчитаем модули разностей всех соседних пар: |1-2|=1, |2-3|=1, |3-4|=1, |4-5|=1, |5-12|=7, |12-6|=6, |6-7|=1, |7-8|=1, |8-9|=1, |9-11|=2, |11-10|=1 и замыкающая пара |10-1|=9. Складываем: 1+1+1+1+7+6+1+1+1+2+1+9 = 32. Всё сходится — пример подходит.

б) А вот 29 не получится никогда. Секрет в чётности. Модуль разности двух чисел всегда той же чётности, что и их сумма: |a-b| и a+b отличаются ровно на 2b (или 2a), то есть на чётное число. Значит, вся наша сумма модулей по чётности такая же, как сумма всех (a_1+a_2)+(a_2+a_3)+\dots+(a_{12}+a_1). А в этой сумме каждое число от 1 до 12 встречается ровно дважды (у него два соседа), поэтому она равна 2\cdot(1+2+\dots+12) = 2\cdot 78 = 156 — число чётное. Раз сумма модулей по чётности совпадает с чётным числом, она и сама всегда чётная. А 29 нечётно, поэтому такой сумма быть не может.

в) Теперь ищем максимум. Раскроем каждый модуль как «большее минус меньшее». Тогда каждое число входит в итоговую сумму со знаком плюс за каждого соседа, который меньше него, и со знаком минус за каждого соседа, который больше. Соседей ровно два, поэтому итоговый коэффициент числа — это +2 (если оба соседа меньше, число — «вершина»), 0 (если один меньше, другой больше) или -2 (если оба соседа больше, число — «впадина»). Обходя круг, вершины и впадины чередуются, значит их поровну.

Чтобы сумма была как можно больше, выгодно самым большим числам дать коэффициент +2, а самым маленьким — (-2). Вершин и впадин может быть максимум по 6 (тогда большие и маленькие числа строго чередуются). Сделаем вершинами 7, 8, 9, 10, 11, 12, а впадинами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Тогда сумма равна 2\cdot(7+8+9+10+11+12) - 2\cdot(1+2+3+4+5+6) = 2\cdot 57 - 2\cdot 21 = 114 - 42 = 72.

И такая расстановка реально существует — просто чередуем маленькое и большое: 1, 7, 2, 8, 3, 9, 4, 10, 5, 11, 6, 12 по кругу. Здесь каждое большое число зажато между двумя маленькими (вершина), а каждое маленькое — между двумя большими (впадина). Проверим сумму модулей: 6+5+6+5+6+5+6+5+6+5+6+11 = 72 — всё сходится. Значит, наибольшее значение суммы равно 72.