ID: 00022442
Источник: ФИПИ
а) Нам нужно расставить числа так, чтобы сумма модулей разностей соседей получилась ровно $32$. Хитрость простая: возьмём числа почти по порядку, тогда почти все разности будут по $1$, а нужную «добавку» дадут один-два больших скачка. Возьмём по кругу $1, 2, 3, 4, 5, 12, 6, 7, 8, 9, 11, 10$ (а после $10$ снова идёт $1$). Посчитаем модули разностей всех соседних пар: $|1-2|=1$, $|2-3|=1$, $|3-4|=1$, $|4-5|=1$, $|5-12|=7$, $|12-6|=6$, $|6-7|=1$, $|7-8|=1$, $|8-9|=1$, $|9-11|=2$, $|11-10|=1$ и замыкающая пара $|10-1|=9$. Складываем: $1+1+1+1+7+6+1+1+1+2+1+9 = 32$. Всё сходится — пример подходит.
б) А вот $29$ не получится никогда. Секрет в чётности. Модуль разности двух чисел всегда той же чётности, что и их сумма: $|a-b|$ и $a+b$ отличаются ровно на $2b$ (или $2a$), то есть на чётное число. Значит, вся наша сумма модулей по чётности такая же, как сумма всех $(a_1+a_2)+(a_2+a_3)+\dots+(a_{12}+a_1)$. А в этой сумме каждое число от $1$ до $12$ встречается ровно дважды (у него два соседа), поэтому она равна $2\cdot(1+2+\dots+12) = 2\cdot 78 = 156$ — число чётное. Раз сумма модулей по чётности совпадает с чётным числом, она и сама всегда чётная. А $29$ нечётно, поэтому такой сумма быть не может.
в) Теперь ищем максимум. Раскроем каждый модуль как «большее минус меньшее». Тогда каждое число входит в итоговую сумму со знаком плюс за каждого соседа, который меньше него, и со знаком минус за каждого соседа, который больше. Соседей ровно два, поэтому итоговый коэффициент числа — это $+2$ (если оба соседа меньше, число — «вершина»), $0$ (если один меньше, другой больше) или $-2$ (если оба соседа больше, число — «впадина»). Обходя круг, вершины и впадины чередуются, значит их поровну.
Чтобы сумма была как можно больше, выгодно самым большим числам дать коэффициент $+2$, а самым маленьким — $(-2)$. Вершин и впадин может быть максимум по $6$ (тогда большие и маленькие числа строго чередуются). Сделаем вершинами $7, 8, 9, 10, 11, 12$, а впадинами $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Тогда сумма равна $2\cdot(7+8+9+10+11+12) - 2\cdot(1+2+3+4+5+6) = 2\cdot 57 - 2\cdot 21 = 114 - 42 = 72$.
И такая расстановка реально существует — просто чередуем маленькое и большое: $1, 7, 2, 8, 3, 9, 4, 10, 5, 11, 6, 12$ по кругу. Здесь каждое большое число зажато между двумя маленькими (вершина), а каждое маленькое — между двумя большими (впадина). Проверим сумму модулей: $6+5+6+5+6+5+6+5+6+5+6+11 = 72$ — всё сходится. Значит, наибольшее значение суммы равно $72$.