Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022441

Работаем с остатками по модулю $3$. Две соседние четвёрки подряд дают $x_{i+4}\equiv x_i\pmod 3$. Кроме того, сумма трёх подряд $x_i+x_{i+1}+x_{i+2}\equiv -x_{i+3}\pmod 3$, а по условию она не делится на $3$, поэтому $x_{i+3}\not\equiv 0$ — значит, ни одно число не кратно $3$, все остатки равны $1$ или $2$.

В каждой четвёрке подряд сумма кратна $3$ ровно тогда, когда в ней две единицы и две двойки (сумма $2+2+1+1=6$). Просуммируем по всем $N$ четвёркам круга: каждое число учтено $4$ раза, а в каждой четвёрке ровно $2$ двойки, поэтому $4\cdot(\text{число двоек})=2N$, то есть двоек ровно $N/2$. Значит, $N$ чётно, а остатков $1$ и $2$ поровну.

До $400$ доступно: с остатком $1$ — это $1,4,\dots,400$, всего $134$; с остатком $2$ — это $2,5,\dots,398$, всего $133$.

а) $N=360$ требует $180$ чисел с остатком $2$, а их лишь $133$. Нет.

б) $N=149$ нечётно, а $N$ обязано быть чётным. Нет.

в) Ограничивает более редкий остаток $2$: $N/2\le 133$, то есть $N\le 266$. Набор на $266$ строится чередованием по кругу $133$ чисел с остатком $1$ и $133$ чисел с остатком $2$: четвёрки дают остатки $1,2,1,2$ (сумма $6$ кратна $3$), тройки — суммы $4$ или $5$ (на $3$ не делятся). Наибольшее $N$ — 266.