Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022444

Пусть фотографировали $k$ дней ($k>1$). Суммы «лесенок»: $S_M = km + \dfrac{k(k-1)}{2}$ у Маши и $S_N = kn + \dfrac{k(k-1)}{2}$ у Наташи, а их разность $S_N - S_M = k(n-m) = 1615$. Разложим: $1615 = 5\cdot 17\cdot 19$. Значит, число дней $k$ — делитель числа $1615$.

а) Пять дней: $k = 5$ делит $1615$ (ведь $1615 = 5\cdot 323$), тогда $n - m = 323$. Например, $m = 1$, $n = 324$ — подходит. Пять дней возможно.

б) Шесть дней: $k = 6$. Но $1615$ нечётно, а $6$ чётно, поэтому $6$ не делит $1615$: равенство $6\cdot(n-m) = 1615$ в целых числах невозможно. Значит, шесть дней быть не могло.

в) Сумма Наташи $S_N = km + 1615 + \dfrac{k(k-1)}{2}$. Условие «в последний день Маша сделала меньше $30$» даёт $m + (k-1) \le 29$, то есть $m \le 30 - k$. Берём наибольшее $m = 30 - k$, тогда $S_N = k(30-k) + 1615 + \dfrac{k(k-1)}{2} = 1615 + \dfrac{k(59-k)}{2}$.

Число $k$ — делитель $1615$, больший $1$, и $m = 30 - k \ge 1$, то есть $k \le 29$. Подходят $k = 5$, $k = 17$, $k = 19$. Подставляем: $k=5$ даёт $1615 + \dfrac{5\cdot 54}{2} = 1615 + 135 = 1750$; $k=17$ даёт $1615 + \dfrac{17\cdot 42}{2} = 1615 + 357 = 1972$; $k=19$ даёт $1615 + \dfrac{19\cdot 40}{2} = 1615 + 380 = 1995$. Максимум — при $k=19$.

Проверим: $m = 30 - 19 = 11$, в последний день Маша сняла $11 + 18 = 29 < 30$ — годится; $n = 11 + \dfrac{1615}{19} = 11 + 85 = 96$. Наташа снимала $96, 97, \dots, 114$, сумма $19\cdot 96 + \dfrac{19\cdot 18}{2} = 1824 + 171 = 1995$. Разность с Машей: $1995 - 380 = 1615$ — всё сходится. Наибольшее число фотографий Наташи равно $1995$.