Пусть фотографировали k дней (k>1). Суммы «лесенок»: S_M = km + \dfrac{k(k-1)}{2} у Маши и S_N = kn + \dfrac{k(k-1)}{2} у Наташи, а их разность S_N - S_M = k(n-m) = 1615. Разложим: 1615 = 5\cdot 17\cdot 19. Значит, число дней k — делитель числа 1615.

а) Пять дней: k = 5 делит 1615 (ведь 1615 = 5\cdot 323), тогда n - m = 323. Например, m = 1, n = 324 — подходит. Пять дней возможно.

б) Шесть дней: k = 6. Но 1615 нечётно, а 6 чётно, поэтому 6 не делит 1615: равенство 6\cdot(n-m) = 1615 в целых числах невозможно. Значит, шесть дней быть не могло.

в) Сумма Наташи S_N = km + 1615 + \dfrac{k(k-1)}{2}. Условие «в последний день Маша сделала меньше 30» даёт m + (k-1) \le 29, то есть m \le 30 - k. Берём наибольшее m = 30 - k, тогда S_N = k(30-k) + 1615 + \dfrac{k(k-1)}{2} = 1615 + \dfrac{k(59-k)}{2}.

Число k — делитель 1615, больший 1, и m = 30 - k \ge 1, то есть k \le 29. Подходят k = 5, k = 17, k = 19. Подставляем: k=5 даёт 1615 + \dfrac{5\cdot 54}{2} = 1615 + 135 = 1750; k=17 даёт 1615 + \dfrac{17\cdot 42}{2} = 1615 + 357 = 1972; k=19 даёт 1615 + \dfrac{19\cdot 40}{2} = 1615 + 380 = 1995. Максимум — при k=19.

Проверим: m = 30 - 19 = 11, в последний день Маша сняла 11 + 18 = 29 < 30 — годится; n = 11 + \dfrac{1615}{19} = 11 + 85 = 96. Наташа снимала 96, 97, \dots, 114, сумма 19\cdot 96 + \dfrac{19\cdot 18}{2} = 1824 + 171 = 1995. Разность с Машей: 1995 - 380 = 1615 — всё сходится. Наибольшее число фотографий Наташи равно 1995.