Задание 16 ЕГЭ по математике: В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей…

№2. Задание 16

ID: 00028838

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?

Источник: ФИПИ

Решение

Что тут происходит. Пусть кредит взят на $n$ лет. Долг в июле убывает равными ступеньками от $10$ млн до нуля, значит каждая ступенька равна $\dfrac{10}{n}$ млн рублей, а июльские долги образуют цепочку $10;\ 10-\dfrac{10}{n};\ 10-\dfrac{20}{n};\ \dots;\ \dfrac{10}{n};\ 0$ .

Из чего состоит платёж любого года. Если в июле долг равен $d$ , то в январе он становится $1{,}1d$ , а к следующему июлю должен стать $d-\dfrac{10}{n}$ . Платёж равен $1{,}1d-\left(d-\dfrac{10}{n}\right)=\dfrac{10}{n}+0{,}1d$ .

То есть каждый год мы отдаём одинаковый кусочек «тела» долга ( $\dfrac{10}{n}$ ) плюс $10\%$ от текущего июльского остатка. За все годы кусочки «тела» в сумме дают ровно $10$ млн — весь кредит. Значит, переплата (всё, что сверх $10$ млн) — это $0{,}1$ от суммы всех июльских долгов, с которых начинались годы.

Сумма этих долгов: $10+\left(10-\dfrac{10}{n}\right)+\dots+\dfrac{10}{n}$ — это арифметическая прогрессия из $n$ слагаемых, первое $10$ , последнее $\dfrac{10}{n}$ . По формуле суммы получаем $\dfrac{\left(10+\frac{10}{n}\right)n}{2}=\dfrac{10n+10}{2}=5(n+1)$ .

Тогда общая сумма выплат равна $10+0{,}1\cdot 5(n+1)=10+0{,}5(n+1)$ , и по условию она равна $15$ :

$10+0{,}5(n+1)=15\ \Rightarrow\ 0{,}5(n+1)=5\ \Rightarrow\ n+1=10\ \Rightarrow\ n=9.$

Проверим себя. При $n=9$ ступенька равна $\dfrac{10}{9}$ млн, сумма июльских долгов равна $5\cdot 10=50$ млн, проценты составляют $0{,}1\cdot 50=5$ млн, а всего выплачено $10+5=15$ млн — совпало.

Ответ

$9$