ID: 00028836
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 77 200 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Источник: ФИПИ
Что тут происходит. Есть кредит $S$ рублей и три одинаковых платежа $x$. Каждый январь долг умножается на $1{,}2$, каждую весну уменьшается на $x$, и после третьего платежа обращается в нуль. Кроме того, известна переплата — насколько сумма всех платежей больше кредита.
Проследим долг. После первого года: $1{,}2S-x$. После второго: $1{,}2(1{,}2S-x)-x$. После третьего должно получиться ноль:
$1{,}2\big(1{,}2(1{,}2S-x)-x\big)-x=0.$
Раскроем скобки по шагам: $1{,}2\cdot 1{,}2\cdot 1{,}2\,S=1{,}728S$, а платёж входит с множителями $1{,}44$, $1{,}2$ и $1$. Получаем
$1{,}728S=x\,(1{,}44+1{,}2+1)=3{,}64x.$
Второе условие — про переплату: всего заплатили $3x$, и это на $77\,200$ больше кредита, то есть $3x-S=77\,200$.
Из первого равенства $x=\dfrac{1{,}728S}{3{,}64}$. Подставим во второе:
$3\cdot\dfrac{1{,}728S}{3{,}64}-S=77\,200.$
Умножим обе части на $3{,}64$: $5{,}184S-3{,}64S=77\,200\cdot 3{,}64$, то есть $1{,}544S=281\,008$. Отсюда $S=\dfrac{281\,008}{1{,}544}=182\,000$ рублей.
Проверим себя. Тогда $x=\dfrac{1{,}728\cdot 182\,000}{3{,}64}=86\,400$ рублей, три платежа дают $259\,200$, а переплата равна $259\,200-182\,000=77\,200$ рублей — как в условии.
$182\,000$