Задание 16 ЕГЭ по математике: В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую…

№2. Задание 16

ID: 00028836

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 77 200 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Источник: ФИПИ

Решение

Что тут происходит. Есть кредит $S$ рублей и три одинаковых платежа $x$ . Каждый январь долг умножается на $1{,}2$ , каждую весну уменьшается на $x$ , и после третьего платежа обращается в нуль. Кроме того, известна переплата — насколько сумма всех платежей больше кредита.

Проследим долг. После первого года: $1{,}2S-x$ . После второго: $1{,}2(1{,}2S-x)-x$ . После третьего должно получиться ноль:

$1{,}2\big(1{,}2(1{,}2S-x)-x\big)-x=0.$

Раскроем скобки по шагам: $1{,}2\cdot 1{,}2\cdot 1{,}2\,S=1{,}728S$ , а платёж входит с множителями $1{,}44$ , $1{,}2$ и $1$ . Получаем

$1{,}728S=x\,(1{,}44+1{,}2+1)=3{,}64x.$

Второе условие — про переплату: всего заплатили $3x$ , и это на $77\,200$ больше кредита, то есть $3x-S=77\,200$ .

Из первого равенства $x=\dfrac{1{,}728S}{3{,}64}$ . Подставим во второе:

$3\cdot\dfrac{1{,}728S}{3{,}64}-S=77\,200.$

Умножим обе части на $3{,}64$ : $5{,}184S-3{,}64S=77\,200\cdot 3{,}64$ , то есть $1{,}544S=281\,008$ . Отсюда $S=\dfrac{281\,008}{1{,}544}=182\,000$ рублей.

Проверим себя. Тогда $x=\dfrac{1{,}728\cdot 182\,000}{3{,}64}=86\,400$ рублей, три платежа дают $259\,200$ , а переплата равна $259\,200-182\,000=77\,200$ рублей — как в условии.

Ответ

$182\,000$