ID: 00013441
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тыс. рублей на 16 месяцев.
Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыду-
щего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей;
- к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите 𝑟, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита
составит 1228 тысяч рублей.
Источник: ФИПИ
Это помесячный «дифференцированный» кредит: 1-го числа каждого месяца долг растёт на $r\,\%$, а 15-го его уменьшают так, чтобы он падал равными ступенями; в последний месяц гасится остаток.
Долг (в тыс. руб.) на 15-е число убывает равными ступенями по 40: $1 100,\ 1 060,\ \dots$ — всего 15 ступеней, после чего 16-м платежом гасится остаток $500$ тыс. руб.
Платёж каждого месяца — это «ступень погашения 40 плюс проценты на долг прошлого месяца». Последний платёж равен остатку $500$, выросшему на $r\,\%$. Сумма всех платежей равна 1 228 тыс. руб.:
$$\underbrace{40\cdot15}_{\text{ступени}=600}+x\cdot(\text{сумма долгов прошлых месяцев})+(1+x)\cdot500=1 228.$$
Отсюда $x=0{,}01$, то есть $r=1$. Искомая ставка равна 1 %.
Типичная ошибка — начислять проценты на исходный долг, а не на остаток прошлого месяца, или забыть про отдельный последний платёж.
1