Задание 16 ЕГЭ по математике: В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 419…

№2. Задание 16

ID: 00028837

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 419 375 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Источник: ФИПИ

Решение

Что тут происходит. Сумма кредита известна: $419\,375$ рублей. Гасят его четырьмя одинаковыми платежами. Найдём размер одного платежа, а потом умножим на четыре — это и будет всё, что уйдёт банку.

Обозначим платёж $x$ . Каждый январь долг умножается на $1{,}2$ (прибавка $20\%$ ), каждую весну уменьшается на $x$ . После четвёртого платежа долг равен нулю:

$\big(\big(\big(1{,}2\cdot 419\,375-x\big)1{,}2-x\big)1{,}2-x\big)1{,}2-x=0.$

Если раскрыть скобки, слева останется кредит, умноженный на $1{,}2^4$ , а платёж войдёт с множителями $1{,}2^3$ , $1{,}2^2$ , $1{,}2$ и $1$ :

$1{,}2^4\cdot 419\,375=x\big(1{,}2^3+1{,}2^2+1{,}2+1\big).$

Считаем степени: $1{,}2^2=1{,}44$ , $1{,}2^3=1{,}728$ , $1{,}2^4=2{,}0736$ . Сумма в скобках равна $1{,}728+1{,}44+1{,}2+1=5{,}368$ .

Слева: $2{,}0736\cdot 419\,375=869\,616$ . Значит, $x=\dfrac{869\,616}{5{,}368}=162\,000$ рублей.

Банку будет выплачено четыре таких платежа: $4\cdot 162\,000=648\,000$ рублей.

Проверим себя грубой прикидкой: переплата равна $648\,000-419\,375=228\,625$ рублей — это чуть больше половины кредита за четыре года под $20\%$ годовых, вполне правдоподобно.

Ответ

$648\,000$