Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028837

Что тут происходит. Сумма кредита известна: $419\,375$ рублей. Гасят его четырьмя одинаковыми платежами. Найдём размер одного платежа, а потом умножим на четыре — это и будет всё, что уйдёт банку.

Обозначим платёж $x$. Каждый январь долг умножается на $1{,}2$ (прибавка $20\%$), каждую весну уменьшается на $x$. После четвёртого платежа долг равен нулю:

$\big(\big(\big(1{,}2\cdot 419\,375-x\big)1{,}2-x\big)1{,}2-x\big)1{,}2-x=0.$

Если раскрыть скобки, слева останется кредит, умноженный на $1{,}2^4$, а платёж войдёт с множителями $1{,}2^3$, $1{,}2^2$, $1{,}2$ и $1$:

$1{,}2^4\cdot 419\,375=x\big(1{,}2^3+1{,}2^2+1{,}2+1\big).$

Считаем степени: $1{,}2^2=1{,}44$, $1{,}2^3=1{,}728$, $1{,}2^4=2{,}0736$. Сумма в скобках равна $1{,}728+1{,}44+1{,}2+1=5{,}368$.

Слева: $2{,}0736\cdot 419\,375=869\,616$. Значит, $x=\dfrac{869\,616}{5{,}368}=162\,000$ рублей.

Банку будет выплачено четыре таких платежа: $4\cdot 162\,000=648\,000$ рублей.

Проверим себя грубой прикидкой: переплата равна $648\,000-419\,375=228\,625$ рублей — это чуть больше половины кредита за четыре года под $20\%$ годовых, вполне правдоподобно.