ID: 00028788
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца ($r$ — целое число);
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей;
— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите $r$, если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1228 тысяч рублей.
Источник: ФИПИ
Сначала поймём схему. Каждый месяц повторяется одно и то же: 1-го числа банк начисляет проценты, затем в течение месяца мы вносим платёж, и к 15-му числу остаётся некоторый долг. То есть удобно смотреть на кредит «фотографиями» долга на 15-е число каждого месяца.
Что происходит по месяцам, словами:
1) 15 декабря — долг 1100 тыс. руб. Это нулевая «фотография».
2) Первые 15 месяцев долг убывает ступеньками одинаковой высоты: каждая следующая фотография меньше предыдущей на одну и ту же сумму.
3) На 15-й фотографии долг равен 500 тыс. руб.
4) На 16-й месяц долг доводят до нуля последним платежом.
Найдём высоту ступеньки. За первые 15 месяцев долг спустился с 1100 до 500, то есть на $1100-500=600$ тыс. руб., и сделал это ровно за 15 одинаковых шагов:
$$d=\dfrac{600}{15}=40\ \text{тыс. рублей}.$$
Значит, долги на 15-е число идут так: $1100,\ 1060,\ 1020,\ \ldots,\ 500$, а затем последним махом $0$.
Теперь ключевая идея, которая экономит кучу вычислений. Разберём, из чего состоит платёж любого месяца. Пусть на прошлое 15-е число долг был $D_{\text{стар}}$, а на нынешнее стал $D_{\text{нов}}$. В начале месяца долг подрос до $D_{\text{стар}}\cdot\left(1+x\right)$, где $x=\dfrac{r}{100}$ — ставка в долях. Платёж — это разность между тем, что стало, и тем, что должно остаться:
$$\text{платёж}=D_{\text{стар}}\left(1+x\right)-D_{\text{нов}}=\underbrace{x\cdot D_{\text{стар}}}_{\text{проценты}}+\underbrace{\left(D_{\text{стар}}-D_{\text{нов}}\right)}_{\text{снижение долга}}.$$
Проще говоря: каждый месяц мы отдаём набежавшие проценты плюс кусок самого долга. Поэтому вся сумма выплат тоже распадается на две части.
Часть первая — снижения долга. Все они вместе просто гасят исходные 1100 тыс. руб. (долг спустился с 1100 до нуля), сколько бы месяцев это ни длилось.
Часть вторая — проценты. Они начисляются каждый месяц на долг предыдущего 15-го числа, то есть на числа $1100,\ 1060,\ 1020,\ \ldots,\ 500$ — это все 16 «фотографий» с нулевой по пятнадцатую. Их сумма — сумма арифметической прогрессии, где первый член 1100, последний 500, членов 16:
$$1100+1060+\ldots+500=\dfrac{1100+500}{2}\cdot 16=800\cdot 16=12\,800.$$
Складываем обе части и приравниваем к известной сумме выплат:
$$1100+x\cdot 12\,800=1228.$$
Отсюда $x\cdot 12\,800=128$, то есть $x=\dfrac{128}{12\,800}=0{,}01$, а это ровно один процент.
Проверим себя. При ставке $1\%$ проценты за все 16 месяцев дают $0{,}01\cdot 12\,800=128$ тыс. руб., плюс сам долг 1100 тыс. руб. — всего 1228 тыс. руб., как и сказано в условии. Число $r=1$ целое, значит условие «$r$ — целое» тоже выполнено.