Кредиты — Задание 16 ЕГЭ по математике №00028833

Что тут происходит. Первые три года долг в июле не меняется: он равен $6{,}6$ млн и до, и после. Это значит, что в эти годы мы отдаём ровно то, что набежало процентами, — «тело» долга не трогаем. А последние два года гасим всё, причём двумя одинаковыми платежами.

Введём удобное обозначение: пусть $k=1+\dfrac{r}{100}$ — множитель, на который долг умножается каждый январь.

Первые три года. Долг $6{,}6$ превращается в $6{,}6k$, а к июлю снова должен стать $6{,}6$. Значит, платёж каждого из этих лет равен $6{,}6k-6{,}6=6{,}6(k-1)$, а за три года — $19{,}8(k-1)$.

Последние два года. Пусть каждый из двух платежей равен $p$. В январе 2030 долг равен $6{,}6k$; после платежа остаётся $6{,}6k-p$. В январе 2031 остаток умножается на $k$ и гасится последним платежом: $(6{,}6k-p)k=p$. Отсюда $6{,}6k^2=pk+p=p(k+1)$, то есть $p=\dfrac{6{,}6k^2}{k+1}$.

Складываем все выплаты и приравниваем к $12{,}6$:

$19{,}8(k-1)+\dfrac{13{,}2k^2}{k+1}=12{,}6.$

Умножим обе части на $(k+1)$, чтобы избавиться от дроби:

$19{,}8(k-1)(k+1)+13{,}2k^2=12{,}6(k+1).$

Так как $(k-1)(k+1)=k^2-1$, получаем $19{,}8k^2-19{,}8+13{,}2k^2=12{,}6k+12{,}6$, то есть $33k^2-12{,}6k-32{,}4=0$. Разделим всё на $0{,}6$: $55k^2-21k-54=0$.

Дискриминант: $D=(-21)^2+4\cdot 55\cdot 54=441+11\,880=12\,321=111^2$. Тогда $k=\dfrac{21+111}{110}=\dfrac{132}{110}=1{,}2$ (второй корень отрицателен, а множитель обязан быть больше единицы).

Значит, $1+\dfrac{r}{100}=1{,}2$, откуда $r=20$.

Проверим себя. Проценты за первые три года: $6{,}6\cdot 0{,}2=1{,}32$ млн трижды, всего $3{,}96$. Далее $6{,}6\cdot 1{,}2=7{,}92$, и из $(7{,}92-p)\cdot 1{,}2=p$ получаем $p=4{,}32$; два таких платежа дают $8{,}64$. Итого $3{,}96+8{,}64=12{,}6$ млн — совпало.