Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028832

Что тут происходит. Взяли сумму $S$ рублей и три года подряд платим по одинаковому платежу $x$. Каждый январь долг умножается на $1{,}2$ (начисление $20\%$), а весной мы вносим $x$. После третьего платежа долг должен обнулиться.

Проследим долг по годам. К январю 2027 долг стал $1{,}2S$, после первого платежа осталось $1{,}2S-x$. К январю 2028 остаток снова умножается на $1{,}2$ и уменьшается на $x$: получаем $1{,}2(1{,}2S-x)-x=1{,}44S-1{,}2x-x$. К январю 2029 то же самое ещё раз, и результат должен стать нулём:

$1{,}2\big(1{,}44S-1{,}2x-x\big)-x=0,$ то есть $1{,}728S=1{,}44x+1{,}2x+x.$

Справа стоит сумма $1{,}44+1{,}2+1=3{,}64$, поэтому $1{,}728S=3{,}64x$.

Теперь используем второе условие. Всего банку отдадут $3x$ рублей, и это на $48\,250$ больше взятой суммы: $3x-S=48\,250$.

Выразим $S$ из первого равенства: $S=\dfrac{3{,}64x}{1{,}728}$. Подставим во второе:

$3x-\dfrac{3{,}64x}{1{,}728}=48\,250.$

Умножим обе части на $1{,}728$: $5{,}184x-3{,}64x=48\,250\cdot 1{,}728$, то есть $1{,}544x=83\,376$. Отсюда $x=\dfrac{83\,376}{1{,}544}=54\,000$ рублей.

Спрашивают, сколько всего выплачено банку, а это три платежа: $3\cdot 54\,000=162\,000$ рублей.

Проверим себя. Тогда $S=\dfrac{3{,}64\cdot 54\,000}{1{,}728}=113\,750$ рублей, и переплата равна $162\,000-113\,750=48\,250$ рублей — ровно как в условии.