ID: 00028832
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 48 250 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Источник: ФИПИ
Что тут происходит. Взяли сумму $S$ рублей и три года подряд платим по одинаковому платежу $x$. Каждый январь долг умножается на $1{,}2$ (начисление $20\%$), а весной мы вносим $x$. После третьего платежа долг должен обнулиться.
Проследим долг по годам. К январю 2027 долг стал $1{,}2S$, после первого платежа осталось $1{,}2S-x$. К январю 2028 остаток снова умножается на $1{,}2$ и уменьшается на $x$: получаем $1{,}2(1{,}2S-x)-x=1{,}44S-1{,}2x-x$. К январю 2029 то же самое ещё раз, и результат должен стать нулём:
$1{,}2\big(1{,}44S-1{,}2x-x\big)-x=0,$ то есть $1{,}728S=1{,}44x+1{,}2x+x.$
Справа стоит сумма $1{,}44+1{,}2+1=3{,}64$, поэтому $1{,}728S=3{,}64x$.
Теперь используем второе условие. Всего банку отдадут $3x$ рублей, и это на $48\,250$ больше взятой суммы: $3x-S=48\,250$.
Выразим $S$ из первого равенства: $S=\dfrac{3{,}64x}{1{,}728}$. Подставим во второе:
$3x-\dfrac{3{,}64x}{1{,}728}=48\,250.$
Умножим обе части на $1{,}728$: $5{,}184x-3{,}64x=48\,250\cdot 1{,}728$, то есть $1{,}544x=83\,376$. Отсюда $x=\dfrac{83\,376}{1{,}544}=54\,000$ рублей.
Спрашивают, сколько всего выплачено банку, а это три платежа: $3\cdot 54\,000=162\,000$ рублей.
Проверим себя. Тогда $S=\dfrac{3{,}64\cdot 54\,000}{1{,}728}=113\,750$ рублей, и переплата равна $162\,000-113\,750=48\,250$ рублей — ровно как в условии.
$162\,000$