ID: 00028834
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $30\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным $S$ тыс. рублей;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс. рублей;
— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Источник: ФИПИ
Что тут происходит. Первые три года долг в июле не меняется — значит, в эти годы платёж покрывает ровно начисленные проценты. Последние два года платежи известны ($338$ тыс. каждый), и после второго из них долг обнуляется. Отсюда мы и найдём сам кредит $S$.
Начисление $30\%$ — это умножение на $1{,}3$.
Разбираем два последних года. В июле 2029 долг равен $S$. К январю 2030 он вырастает до $1{,}3S$, после платежа остаётся $1{,}3S-338$. К январю 2031 остаток снова умножается на $1{,}3$, и последний платёж $338$ гасит его полностью:
$1{,}3\cdot(1{,}3S-338)=338.$
Раскроем скобки: $1{,}69S-439{,}4=338$, значит $1{,}69S=777{,}4$ и $S=\dfrac{777{,}4}{1{,}69}=460$ тыс. рублей.
Теперь первые три года. Каждый год долг $460$ превращается в $1{,}3\cdot 460=598$, а к июлю должен снова стать $460$. Платёж каждого такого года: $598-460=138$ тыс. рублей. За три года это $3\cdot 138=414$ тыс. рублей.
Складываем всё: $414+338+338=1090$ тыс. рублей.
Проверим себя. Долг $460$ тыс.: январь 2030 даёт $598$, платим $338$, остаётся $260$; январь 2031 даёт $1{,}3\cdot 260=338$, и последний платёж ровно его закрывает — сходится.
$1090$ тыс. рублей